Előadás: algebra2 normál, 2018 tavasz

Vizsgák, jegybeírás, betekintés

A vizsga menetéről és a követelményekről itt olvasható részletes információ. Lényegében az előző félév Algebra1 normál tárgy szabályai érvényesek. Mintának érdemes megnézni a korábbi  vizsgadolgozatokat és azok megoldásait is.

Mindegyik vizsga után pár nappal, amikorra a dolgozatokat kijavítjuk, lesz egy betekintési időpont, amikor reklamálni lehet. A betekintési alkalomra nem kötelező bejönni. A jegyeket csak akkor írom be a Neptunba, ha a betekintési időpont elmúlik, mert változtatni utólag nincs jogom. Ezért ha valaki korábban meg szeretné tudni, hogy hányas (és hány pontos) lett a dolgozata (például azt eldöntendő, hogy érdemes-e bejönnie a betekintési alkalomra), az írjon nekem emailt.

Vizsgadolgozatok, megoldások

  1. Első vizsgadolgozat (2018. május 29 kedd, 08:00, Déli tömb, 0-805, Fejér Lipót terem).
    Konzultáció: május 28 hétfő, 09:00, D-3-715.
    Betekintés: A vizsga napján délután, D-3-204.

  2. Második vizsgadolgozat (2017. június 7 csütörtök, 08:00, Déli tömb, 0-805, Fejér Lipót terem).
    Konzultáció: június 05 kedd, 10:00, D-3-219.
    Betekintés: A vizsga napján délután, D-3-204.

  3. Harmadik vizsgadolgozat (2017. június 19 kedd, 08:00, Déli tömb, 0-805, Fejér Lipót terem).
    Konzultáció: június 18 hétfő, 13:00, D-3-219.
    Betekintés:  Később adjuk meg, D-3-204.

  4. Negyedik vizsgadolgozat (2017. július 5 csütörtök, 08:00, Déli tömb, 0-804, Lóczy Lajos terem).
    Konzultáció: július 3 kedd, 13:00, D-3-219.
    Betekintés: A vizsga napján délután, D-3-204.

Az előadások tartalma

A félév anyaga az, ami az egyes előadások alábbi összefoglalójának végén látható, letölthető anyagban szerepel, beleértve a tankönyvi hivatkozásokat is. Azoknak a bizonyításoknak a listája, amik a vizsga harmadik részében szerepelhetnek, az utolsó prezentáció (május 3.) legvégén található.

  1. Február 15. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza. Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
  2. Február 22. Vektor koordinátái adott bázisban. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója. Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Alterek összege, ennek dimenziója. A skaláris szorzat fogalma Rn-ben, vektorok hossza. Ortonormált bázis. Vektor koordinátáinak felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével.
  3. Március 1. Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, a megfeleltetés mátrix és leképezés között kölcsönösen egyértelmű és művelettartó. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója.
  4. Március 8. A bázistranszformáció képlete. Hasonló mátrixok. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata. Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek.
  5. Első évfolyamzárthelyi: március 22. az első négy előadás anyagából. Részletek a gyakorlatról szóló lapon.
  6. Április 5. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható. Alkalmazás: véges Markov-folyamatok. Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.
  7. Április 12. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik és minden gyöke egyszeres. Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban. A Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége. A minimálpolinom leolvasása a Jordan-alakról. A Jordan-alak hatványozása.
    Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. Összeg és szorzat rangjának felső becslése. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.

  8. Április 19. Skaláris szorzat valós fölötti vektortéren, euklideszi tér. Bázishoz tartozó skaláris szorzat. Hossz, távolság, szög, Cauchy-egyenlőtlenség, háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszer, függetlenségük, vektor koordinátái ortonormált bázisban. Gram-Schmidt-eljárás, merőleges vetület. Euklideszi tér komplex fölött.
    Transzformáció és mátrix adjungáltja, jellemzés skaláris szorzattal. Normális transzformáció ortonormált bázisban diagonalizálható, a sajátalterek merőlegesek. Az unitér és ortogonális transzformációk jellemzései, sajátértékeik. Az ortogonális transzformációk szép valós mátrixa. Unitér mátrixszal minden mátrix felső háromszögmátrixszá transzformálható.

  9. Április 26. Önadjungált és szimmetrikus transzformációk, főtengelytétel. Kvadratikus alak, bilineáris függvény, kapcsolatuk, szimmetrikus bilineáris függvény. Komplex és Hermite-féle bilineáris függvény. Bilineáris függvény mátrixa, felírás mátrixszorzás és skaláris szorzat segítségével. Bilineáris függvényhez tartozó ortogonális bázis, ortogonalizálás ONB-ben sajátértékekkel. Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja. Sylvester tehetetlenségi tétele. Kvadratikus karakter, leolvasása aldeterminánsokkal. Illusztráció másodfokú görbékkel: animáció.
  10. Május 3. Alterek összegénél az elemek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg. Direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Ortogonális kiegészítő altér. Invariáns altér, blokkfelbontás, kapcsolat az adjungált és az ortogonális kiegészítő altér invarianciája között. Néhány korábban elhangzott tétel bizonyítása (az euklideszi terek lineáris transzformációinak speciális alakja, tehetetlenségi tétel).
  11. Második évfolyamzárthelyi: május 17. Részletek a gyakorlatról szóló lapon.