Előadás: Algebra1 normál, 2017 ősz

Vizsgák, jegybeírás, betekintés

A vizsga menetéről és a követelményekről itt olvasható részletes információ, beleértve egy minta vizsgadolgozatot is. Mintának érdemes megnézni a korábbi vizsgadolgozatokat és azok megoldásait is.

Mindegyik vizsga után pár nappal, amikorra a dolgozatokat kijavítjuk, lesz egy betekintési időpont, amikor reklamálni lehet. A betekintési alkalomra nem kötelező bejönni. A jegyeket csak akkor írom be a Neptunba, ha a betekintési időpont elmúlik, mert változtatni utólag nincs jogom. Ezért ha valaki korábban meg szeretné tudni, hogy hányas (és hány pontos) lett a dolgozata (például azt eldöntendő, hogy érdemes-e bejönnie a betekintési alkalomra), az írjon nekem emailt.

Vizsgadolgozatok, megoldások

Az alábbi linkek még a tavalyi vizsgadolgozatokra mutatnak.

  1. Első vizsgadolgozat (2017. jan. 06, péntek, 09:00, Déli tömb, 0-822, Mogyoródi-terem).
    Konzultáció: 2017. jan. 05, csütörtök, 13:00, Déli tömb, 3-110.
    Betekintés: 2017. jan. 10, kedd, 10:00 – 10:30, Déli tömb 3-204.

  2. Második vizsgadolgozat (2017. jan. 13, péntek, 09:00, Déli tömb, 0-822, Mogyoródi-terem).
    Konzultáció: 2017. jan. 11, szerda, 17:00, Déli tömb, 3-110.
    Betekintés: 2017. jan. 13, péntek, 14:00 – 14:30, Déli tömb 3-204.

  3. Harmadik vizsgadolgozat (2017. jan. 20, péntek, 09:00, Déli tömb, 0-822, Mogyoródi-terem).
    Konzultáció: 2017. jan. 19, csütörtök, 13:00, Déli tömb, 3-316.
    Betekintés: 2017. jan. 26, csütörtök, 10:30 – 11:00, Déli tömb 3-204.

  4. Negyedik vizsgadolgozat (2017. feb. 03, péntek, 09:00, Déli tömb, 0-822, Mogyoródi-terem).
    Konzultáció: 2017. feb. 02, csütörtök, 13:00, Déli tömb, 3-110.
    Betekintés: Aznap délután, amikor a vizsgát kijavítottuk, Déli tömb 3-204.

Az előadások tartalma

Ennek a félévnek az anyagát lényegében lefedi az alábbi két tankönyvből összesen az első három-három fejezet:

  • Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába (klasszikus és absztrakt algebra), a tankönyv is, a megoldások is szabadon (legálisan) letölthetők;
  • Freud Róbert: Lineáris Algebra.

A félév anyaga az, ami az egyes előadások alábbi összefoglalójának végén látható, letölthető anyagban szerepel, beleértve a tankönyvi hivatkozásokat is. Azoknak a bizonyításoknak a listája, amik a vizsga harmadik részében szerepelhetnek, az utolsó előadást tartalmazó prezentáció legvégén található. Az alábbi tematikában, ami tehát egyben vizsgatematika is, a fenti könyvek megfelelő szakaszaira F, illetve K betű hivatkozik.

Külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy a polinomokat eleinte csak valós, majd komplex fölött tekintjük, és a félév vége felé vezetjük be az általános gyűrű fölötti polinom fogalmát. Ekkor az összes tételt ilyen általánosságban átismételjük (és a vizsgán így is kérjük számon). Mindkét tankönyvben a felépítés eleve gyűrű (illetve test) fölött történik.

  1. Szeptember 12. A valós együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. K2.1, 2.3. A szumma és produktum jelölés. Behelyettesítés polinomba, polinomfüggvény. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. K2.4.
  2. Szeptember 19. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. A k-szoros gyök fogalma. Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározása: a racionális gyökteszt. K2.4, 2.5, 3.3. A binomiális tétel.
  3. Szeptember 26. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. K1.3. 
    A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. Komplex számok hatványozása. K1.4.

  4. Október 3. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív egységgyök fogalma és felismerése a trigonometrikus alakból. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. K1.5. Az algebra alaptétele.
  5. Október 10. A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével, geometriai alkalmazások. K1.4.
    Az n magas oszlopvektorok “tere”, összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, nulla, ellentett, skalárral szorzás, transzponált, szorzás, egységmátrix, inverz, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. F2.1. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja.
    Gyakorlaton: Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen. Az inverz kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. F3.1.

  6. Október 17. A 2×2-es és 3×3-as determináns definíciója. Tulajdonságai (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. F1.2, 1.3.
    Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele (NB). Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály. A determináns eltűnésének jellemzése. Vandermonde-determináns. F1.4, 1.5, 2.2.

  7. Első évfolyamzárthelyi: október 24. Részletek a gyakorlatról szóló lapon.
  8. November 7. Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata. Inverziók, permutáció előjele. Kompozíció, a permutációk szorzástétele. Csere előjele, a páros permutációk száma.K4.2, F1.1.
    A determináns definíciója. A determináns néhány alaptulajdonságanak bizonyítása: linearitás, ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla, felső háromszögmátrix és transzponált determinánsa.F1.1, 1.2, 1.3.

  9. November 14. Interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. K2.4, K2.5 A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Nullosztómentesség, fok, homogén polinomok. Az elemi szimmetrikus polinomok. K2.6.
    A Cardano-képlet (a képletet a vizsgára nem kell megtanulni), használata, többszörös gyökök létezése. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenletre van, a legalább ötödfokúra nincs gyökképlet. K1.2, K3.8.

  10. November 21. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani. K3.2.
    Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Csak a nem nulla konstans polinomoknak van reciproka. Egységek. A kitüntetett közös osztó definíciója és meghatározása euklideszi algoritmussal. K3.1.
    Az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között.
    Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. K3.3-3.5.

  11. November 28. Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, első és második Gauss-lemma, következmények. A Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel bizonyítása. K3.3-3.5. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis. K3.7.
    Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Egy műveletnek csak egy nulleleme lehet. Az inverz egyértelmű. Gyűrű, test, példák. K2.2. Nullosztómentesség, minden test nullosztómentes. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám. K1.1, 2.2, 3.3.

  12. December 5. Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Zp[x]-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni, ha p prím. Következmény: a kis Fermat-tétel.
    Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem. K2.4.
    A számelmélet alapjai általános gyűrűben. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Ha elvégezhető a maradékos osztás, akkor van kitüntetett közös osztó, minden irreducibilis elem prím, ezért a gyűrű alaptételes. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetén. K3.1, 3.3.
    Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az. Következmény: Z[x1,…,xn] és T[x1,…,xn] alaptételes, ahol T test. K2.6, 3.4.

  13. Második évfolyamzárthelyi: december 12. Részletek a gyakorlatról szóló lapon.