Az alábbi tematika félév végén kiosztott változata és szigorlati mintakérdések innen is letölthetők.
1. alkalom. A részcsoport fogalma, jellemzései zártsággal és komplexusszorzás segítségével. Véges rendű elem esetén az inverzre való zártságot nem kell ellenőrizni. Partició, ekvivalencia-reláció, kapcsolatuk. A mellékosztály fogalma, mellékosztályokra való felbontás, Lagrange tétele. Az index fogalma, a balindex és a jobbindex ugyanaz. Egy elemmel generált részcsoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, kapcsolat az Euler-Fermat tétellel. Ciklikus csoport. Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus.
2. alkalom. Ciklikus csoport részcsoportjai és adott rendű elemeinek a száma. Részcsoportok metszete részcsoport. A generálás általános fogalma, generált részcsoport, létezésének bizonyítása, elemeinek leírása a kommutatív esetben és általában. Permutációcsoport, orbit, stabilizátor, összefüggés a csoport rendjével. Gráfok szimmetriacsoportja, a kocka szimmetriáinak a száma.
3. alkalom. Csoporthomomorfizmus és izomorfizmus. Minden ciklikus csoport izomorf a Z+ illetve Zn+ csoportok valamelyikével. Ha p prím, akkor p rendű csoport izomorfia erejéig csak egy van. Negyedrendű csoport kettő van. Hatodrendű szintén (NB). Cayley-táblázat, Cayley tétele: minden csoport izomorf egy permutációcsoporttal.
A homomorfizmus egység- és inverztartó. Homomorfizmus kpe és magja. Előbbi tetszőleges részcsoport lehet. Utóbbi is részcsoport, ami szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek. Ha N ilyen tulajdonságú részcsoport, akkor ő alkalmas homomorfizmus magja. Normálosztó, faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel.
4. alkalom. Kettő indexű részcsoport normálosztó. Konjugáltság, konjugált osztályok, normálosztó jellemzése. Centralizátor, a konjugált osztályok elemszáma. Centrum, ennek minden részcsoportja normálosztó. A p-csoport fogalma, centruma nemtriviális. Prímnégyzet rendű csoport kommutatív.
Egyszerű csoportok. A kommutatív egyszerű csoportok a prímrendű ciklikusak. A véges egyszerű p-csoportok p rendűek. Az An alternáló csoport egyszerű, ha n legalább 5 (nb). Normállánc, kompozíciólánc, feloldhatóság. A véges Abel-csoportok és p-csoportok feloldhatók. Burnside tétele: ha egy csoport rendjének csak két különböző prímosztója van, akkor a csoport feloldható (nb). Feit-Thompson tétel: minden páratlan rendű csoport feloldható (nb). Az Sn szimmetrikus csoport akkor és csak akkor feloldható, ha n<5. Következmény: a legalább ötödfokú általános egyenletre nincs megoldóképlet (nb).
5. alkalom. Vektorterek izomorfiájának jellemzése a dimenzióval. A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése csoportok esetén. Elemrend direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. Alkalmazás: primitív gyök nemlétezése. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (nb). Prímnégyzet, és prímköb (nb) rendű csoportok izomorfiatípusainak száma. Csoportok, melyek rendje két prím szorzata (nb). A véges egyszerű csoportok osztályozása, spóradikus csoportok.
6. alkalom. Résztest és testbővítés. Adott elemek által generált résztest, a K(b) fogalma, és jellemzése az f(b)/g(b) törtek segítségével. Azok a K-beli együtthatós polinomok, amelyeknek a b elem gyöke, ideált alkotnak K[x]-ben, ennek normált generátoreleme a b elem K feletti minimálpolinomja, jele m_b. Algebrai és transzcendens elemek K felett. Ha b algebrai, akkor a minimálpolinomja a legalacsonyabb fokú normált polinom, amelynek a b gyöke. A minimálpolinom irreducibilis, ennek oka, hogy L nullosztómentes. Megfordítva, ha a b elem gyöke egy normált, irreducibilis, K-beli együtthatós polinomnak, akkor az a b elem K feletti minimálpolinomja. A K(b) testbővítés szerkezete algebrai b esetén, egyértelműség.
7. alkalom. Ha K részteste L-nek, akkor L vektorter, sőt algebra K felett a megfelelő műveletekre. Ennek dimenziója a testbővítés foka. Ha az L test b eleme algebrai K felett, akkor a K(b) test K feletti foka éppen a b elem minimálpolinomjának a fokával egyenlő, ezt nevezzük a b elem K feletti fokának. Ez a fok tehát véges, ha viszont b transzcendens K felett, akkor a K(b) foka végtelen lesz K felett.
A testbővítések fokszámainak szorzástétele. Következmény: elem foka osztója a bővítés fokának. Ezért véges fokú bővítésben minden elem foka véges. Véges és algebrai bővítés fogalma, minden véges bővítés algebrai. A K(b,c) bővítés K feletti foka legfeljebb akkora, mint a b és a c elemek K feletti fokainak szorzata, ez becsli b+c és bc fokát is. Következmény: ha L bővítése K-nak, akkor az L-nek a K felett algebrai elemei résztestet alkotnak. Az algebrai és transzcendens szám fogalma, az algebrai számok teste. Az e transzcendens (Hermite, 1873, nb). A pi szám transzcendens (Lindemann, 1882, nb). A Gelfond-Schneider tétel (nb).
8. alkalom. A geometriai szerkeszthetőség alapjai. Ha a kiindulási alakzatok (pontok, egyenesek, körök) koordinátái egy K testből valók, akkor a szerkeszthető alakzatok koordinátái benne vannak K egy olyan L bővítésében, ami elérhető K-ból négyzetgyökökkel való bővítések sorozatával. Következmény: minden szerkeszthető szám algebrai, és foka K felett 2-hatvány. Klasszikus nem szerkeszthető problémák: kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás. Szabályos sokszög szerkeszthetősége, a primitív egységgyökök szerepe. A szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele: ha a felvett koordinátarendszerben (0,0) és (1,0) adott vagy szerkeszthető, és a kiindulási adatok által generált test K, akkor egy szám pontosan akkor szerkeszthető, ha minimálpolinomjának összes gyökével bővítve a kapott bővítés foka K felett kettő-hatvány (bizonyítás később, és csak részben).
9. alkalom. Összeg, különbség, szorzat, hányados és négyzetgyök szerkeszthetősége. Komplex számokból álló testek esetében minden másodfokú bővítés egy alkalmas négyzetgyök adjungálásával kapható. Következmény: ha egy elem elérhető az alaptestből kiindulva másodfokú bővítések sorozatával, akkor szerkeszthető (de nem minden kettő-hatvány fokú bővítés szerkeszthető).
A közbülső testek megtalálásának problémája. Bővítések szimmetriái. A felbontási test és a normális bővítés fogalma, minden felbontási test normális bővítést ad (nb). Közbülső testek, mint szimmetriák fixponthalmazai. A Galois-csoport fogalma, a Galois-elmélet főtétele: normális bővítés esetén a Galois-csoport rendje épp a bővítés foka, és kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés a Galois-csoport részcsoportjai és a közbülső testek között.
10. alkalom. Kettő-hatvány fokú normális bővítés Galois-csoportja 2-csoport, tehát feloldható. Ezért az ilyen bővítések megkaphatók másodfokú bővítések sorozatával. Komplex szám szerkeszthetősége, kettő-hatvány fokú normális bővítés elemei szerkeszthetők (csak vázlatos bizonyítás). Szabályos sokszög szerkeszthetősége (elégségesség).
A gyökképlet fogalma, egyenletek megoldhatósága gyökjelekkel. A gyökjelekkel való megoldhatóság azzal ekvivalens, hogy a Galois-csoport feloldható (nb). Az általános n-edfokú egyenlet Galois-csoportja Sn, ezért pontosan a legfeljebb negyedfokú egyenletekre van gyökképlet (nb). Példa ötödfokú polinomra, melynek egyik gyöke sem gyökkifejezés (nb).
A gyűrűhomomorfizmus és a faktorgyűrű fogalma.
11. alkalom. Faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel, egyszerű gyűrű. Minden (ferde)test egyszerű gyűrű. Test feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (nb). Ha K test és f egy K-beli együtthatós polinom, akkor K[x]/(f) akkor és csak akkor test, ha f irreducibilis K felett. Ha L bővítése K-nak, és az L egy b elemének a minimálpolinomja f, akkor K[x]/(f) izomorf a K(b) testtel. Ennél az izomorfizmusnál a b elemnek az x+(f), a K test egy c elemének a c+(f) felel meg. Ha most K és f tetszőleges, akkor a K[x]/(f) testben a c+(f) elemek egy K-val izomorf résztestet alkotnak, ennek elemeit K-val azonosíthatjuk. Ekkor a b=x+(f) elem minimálpolinomja pontosan f lesz. Ezáltal sikerült tetszőleges K testhez, és felette vett irreducibilis polinomhoz megkonstruálni a K egy olyan bővítését, amiben f-nek már van gyöke. Ennek az eljárásnak az ismétlésével tetszőleges f polinomhoz elkészíthető egy olyan bővítés, amiben f már gyöktényezőkre bomlik, és így f-nek létezik felbontási teste. Ez izomorfia erejéig egyértelmű (nb). Végtelen sok lépésben konstruálható olyan bővítés is, ami már algebrailag zárt (nb). Az algebrai számok teste algebrailag zárt (nb).
Nullosztómentes gyűrűben minden elem additív rendje ugyanaz, a karakterisztika fogalma (ez nulla, vagy prímszám). Tetszőleges testben a legszűkebb résztest, azaz a prímtest vagy Zp-vel (p prím), vagy Q-val izomorf aszerint, hogy a karakterisztika p vagy 0. Következmény: véges test elemszáma prímhatvány. Megfordítva, minden prímhatványhoz izomorfia erejéig pontosan egy ilyen elemszámú test létezik (csak vázlatosan bizonyítva). Egy q elemű véges testben érvényes a bq=b azonosság, ami a kis-Fermat tétel általánosítása (és így a test az xq-x polinom felbontási teste lesz a saját prímteste fölött). Véges test multiplikatív csoportja ciklikus (bizonyítás annak mintájára, hogy létezik primitív gyök modulo tetszőleges prím). Wedderburn tétele: minden véges ferdetest kommutatív (nb).
12. alkalom. Hányadostest, konstrukciója. Rendezett és elrendezett gyűrűk, C nem elrendezhető. Frobenius tétele, mint a számfogalom lezárása. Zn mint Z faktora, a maradékosztály és a redukált maradékosztály fogalma.
Két elem által generált ideál képlete kommutatív egységelemes gyűrűben. Ha (a,b)=(c), akkor c az a és b elemek kitüntetett közös osztója, és felírható ax+by alakban (ez az észrevétel helyettesíti az euklideszi algoritmust). Ezért főideálgyűrűben minden irreducibilis elem prím (bizonyítás mint egészekre). Minden főideálgyűrű alaptételes (nb). A Z[x] alaptételes, de nem főideálgyűrű.