Mat-tanári szak, második évfolyam, második félév Részletes vizsgatematika

Az anyag az, ami az előadáson (vagy a gyakorlaton) elhangzott. A csoportelmélet tárgyalásakor az általam írt jegyzet szerint haladtunk. A gyűrű- és testelméleti részhez kiegészítésül az F = Fuchs: Algebra egyetemi jegyzetet ajánlom. Az NB jelentése: a bizonyítást nem kell tudni.

Csoportelmélet. A részcsoport fogalma, jellemzései zártsággal és komplexusszorzás segítségével. Véges rendű elem esetén az inverzre való zártságot nem kell ellenőrizni. Partició, ekvivalencia-reláció, kapcsolatuk. A mellékosztály fogalma, mellékosztályokra való felbontás, Lagrange tétele. Az index fogalma, a balindex és a jobbindex ugyanaz. Egy elemmel generált részcsoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, kapcsolat az Euler-Fermat tétellel. Ciklikus csoport. Minden prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportjai és adott rendű elemeinek a száma. Részcsoportok metszete részcsoport. A generálás általános fogalma, generált részcsoport, létezésének bizonyítása, elemeinek leírása a kommutatív esetben és általában.

Permutációcsoport, orbit, stabilizátor, összefüggés a csoport rendjével. Gráfok szimmetriacsoportja, a kocka szimmetriáinak a száma.

Csoporthomomorfizmus és izomorfizmus. Minden ciklikus csoport izomorf a ℤ^{+} illetve ℤ_{n}^{+} csoportok valamelyikével. Ha p prím, akkor p rendű csoport izomorfia erejéig csak egy van. Negyedrendű csoport kettő van. Hatodrendű szintén (NB). Cayley-táblázat, Cayley tétele: minden csoport izomorf egy permutációcsoporttal.

A homomorfizmus egység- és inverztartó. Homomorfizmus képe és magja. Előbbi tetszőleges részcsoport lehet. Utóbbi is részcsoport, ami szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek. Ha N ilyen tulajdonságú részcsoport, akkor ő alkalmas homomorfizmus magja. Normálosztó, faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel.

Kettő indexű részcsoport normálosztó. Konjugáltság, konjugált osztályok, normálosztó jellemzése. Centralizátor, a konjugált osztályok elemszáma. Centrum, ennek minden részcsoportja normálosztó. A p-csoport fogalma (p prím), centruma nemtriviális. Prímnégyzet rendű csoport kommutatív.

Egyszerű csoportok. A kommutatív egyszerű csoportok a prímrendű ciklikusak. A véges egyszerű p-csoportok p rendűek. Az A_{n} alternáló csoport egyszerű, ha n ≥ 5 (NB). Normállánc, kompozíciólánc, feloldhatóság. A véges Abel-csoportok és p-csoportok feloldhatók. Burnside tétele: ha egy csoport rendjének csak két különböző prímosztója van, akkor a csoport feloldható (NB). Feit-Thompson tétel: minden páratlan rendű csoport feloldható (NB). Az S_{n} szimmetrikus csoport akkor és csak akkor feloldható, ha n < 5.

Vektorterek izomorfiájának jellemzése a dimenzióval. A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése csoportok esetén. Elemrend direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. Alkalmazás: primitív gyök nemlétezése. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (NB). Prímnégyzet, és prímköb (NB) rendű csoportok izomorfiatípusainak száma. Csoportok, melyek rendje két prím szorzata (NB). A véges egyszerű csoportok osztályozása, spóradikus csoportok (csak mese, NB).

2 Mat-tanári szak (második évfolyam második félév) — részletes vizsgatematika

Összesen 3 + 1 oldal! Typeset by AMS-TEX Testbővítések és alkalmazásaik (lásd F, VI. Fejezet). Résztest és testbővítés. Adott elemek által generált résztest fogalma, a K(α) jellemzése az f(α)/g(α) törtek segítségével. Ha K ≤ L és α ∈ L, akkor azok a K-beli együtthatós polinomok, amelyeknek az α gyöke, ideált alkotnak K[x]-ben, ennek normált generátoreleme az α elem K feletti minimálpolinomja, jele m_{α}. Algebrai és transzcendens elemek K felett. Ha α algebrai, akkor a minimálpolinomja a legalacsonyabb fokú normált polinom, amelynek α gyöke. A minimálpolinom irreducibilis, ennek oka, hogy L nullosztómentes. Megfordítva, ha az α elem gyöke egy normált, irreducibilis, K-beli együtthatós polinomnak, akkor ez az α elem K feletti minimálpolinomja. A K(α) testbővítés szerkezete algebrai α esetén, egyértelműség.

Ha K részteste L-nek, akkor L vektortér, sőt algebra K felett a megfelelő műveletekre. Ennek dimenziója a testbővítés foka. Ha az L test α eleme algebrai K felett, akkor a K(α) test K feletti foka éppen az α elem K feletti minimálpolinomjának a fokával egyenlő, ezt nevezzük az α elem K feletti fokának. Ez a fok tehát véges, ha viszont α transzcendens K felett, akkor a K(α) foka végtelen lesz K felett.

A testbővítések fokszámainak szorzástétele. Következmény: elem foka osztója a bővítés fokának. Ezért véges fokú bővítésben minden elem foka véges. Véges és algebrai bővítés fogalma, minden véges bővítés algebrai. A K(α, β) bővítés K feletti foka legfeljebb akkora, mint az α és a β elemek K feletti fokainak szorzata, ez becsli α + β és αβ fokát is. Következmény: ha L bővítése K-nak, akkor az L-nek a K felett algebrai elemei résztestet alkotnak. Az algebrai és transzcendens szám fogalma, az algebrai számok teste. Az algebrai számok teste algebrailag zárt (NB). Az e transzcendens (Hermite, 1873, NB). A π szám transzcendens (Lindemann, 1882, NB). A Gelfond-Schneider tétel (NB).

A geometriai szerkeszthetőség alapjai. Ha a kiindulási alakzatok (pontok, egyenesek, körök) koordinátái egy K testből valók, akkor a szerkeszthető alakzatok koordinátái benne vannak K egy olyan bővítésében, ami elérhető K-ból négyzetgyökökkel való bővítések sorozatával. Következmény: minden szerkeszthető szám algebrai, és foka K felett kettőhatvány. Klasszikus nem szerkeszthető problémák: kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás. Szabályos sokszög szerkeszthetősége, a primitív egységgyökök szerepe.

Ha a felvett koordinátarendszerben (0, 0) és (1, 0) adott vagy szerkeszthető, akkor a kiindulási adatok által generált testet a szerkeszthetőségi feladat alaptestének nevezzük. Valós és komplex szám szerkeszthetősége. Összeg, különbség, szorzat, hányados és négyzetgyök szerkeszthető. Komplex számokból álló testek esetében minden másodfokú bővítés egy alkalmas négyzetgyök adjungálásával kapható. Következmény: ha egy szám elérhető az alaptestből kiindulva másodfokú bővítések sorozatával, akkor szerkeszthető (de nem minden kettő-hatvány fokú bővítés szerkeszthető). A szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele: egy α szám pontosan akkor szerkeszthető, ha a K alaptestet az α minimálpolinomjának összes gyökével egyszerre bővítve a kapott bővítés foka K felett kettő-hatvány (bizonyítás csak részben). Szabályos sokszög szerkeszthetősége (elégségesség).

A közbülső testek megtalálásának problémája. Egy bővítés szimmetriái (relatív automorfizmusai). A felbontási test és a normális bővítés fogalma, minden felbontási test normális bővítést ad (NB). Közbülső testek, mint szimmetriák közös fixponthalmazai. A Galois-csoport fogalma, a Galois-elmélet főtétele: normális bővítés esetén a Galoiscsoport rendje épp a bővítés foka, és kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés a Galoiscsoport részcsoportjai és a közbülső testek között (NB).

Kettő-hatvány fokú normális bővítés Galois-csoportja 2-csoport, tehát feloldható. Ezért az ilyen bővítések megkaphatók másodfokú bővítések sorozatával, és így minden kettőhatvány fokú normális bővítés elemei szerkeszthetők (csak vázlatos bizonyítás).

A gyökképlet fogalma, egyenletek megoldhatósága gyökjelekkel. A gyökjelekkel való megoldhatóság azzal ekvivalens, hogy a polinom felbontási testének Galois-csoportja feloldható (NB). Az általános n-edfokú egyenlet Galois-csoportja S_{n}, ezért pontosan a legfeljebb negyedfokú egyenletekre van gyökképlet (NB). Példa ötödfokú polinomra, melynek egyik gyöke sem gyökkifejezés (NB).

Gyűrűelmélet. Gyűrűhomomorfizmus, mag, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel, egyszerű gyűrű (FIII/6–7. §). Minden (ferde)test egyszerű gyűrű (F3.6). Test feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (F3.29, NB). Ha K test és f ∈ K[x], akkor K[x]/(f) akkor és csak akkor test, ha f irreducibilis K felett. Ha L bővítése K-nak, és az L egy α elemének a minimálpolinomja f, akkor K[x]/(f) izomorf a K(α) testtel. Ennél az izomorfizmusnál az α elemnek az x+(f), a K test egy c elemének a c+(f) felel meg (F6.2). Ha most K és f tetszőleges, akkor a K[x]/(f) testben a c + (f) elemek egy K-val izomorf résztestet alkotnak, ennek elemeit K-val azonosíthatjuk. Ekkor a α = x + (f) elem minimálpolinomja pontosan f lesz. Ezáltal sikerült tetszőleges K testhez, és felette vett irreducibilis polinomhoz megkonstruálni a K egy olyan bővítését, amiben f-nek már van gyöke (F6.10). Speciális eset: a komplex számok konstrukciója. Ennek az eljárásnak az ismétlésével tetszőleges f polinomhoz elkészíthető egy olyan bővítés, amiben f már gyöktényezőkre bomlik, és így f-nek létezik felbontási teste (F6.14). Ez izomorfia erejéig egyértelmű (NB). Végtelen sok lépésben konstruálható olyan bővítés is, ami már algebrailag zárt (NB).

Nullosztómentes gyűrűben minden elem additív rendje ugyanaz, a karakterisztika fogalma, ez nulla, vagy prímszám (F3.16). Tetszőleges testben a legszűkebb résztest, azaz a prímtest vagy ℤ_{p}-vel (p prím), vagy ℚ-val izomorf aszerint, hogy a karakterisztika p vagy 0 (F3.17). Következmény: véges test elemszáma prímhatvány (F6.20). Megfordítva, minden prímhatványhoz izomorfia erejéig pontosan egy ilyen elemszámú test létezik (F6.21, F6.22, csak vázlatosan bizonyítva). Egy q elemű véges testben érvényes az α^{q} = α azonosság, ami a kis-Fermat tétel általánosítása (és így a test az x^{q} − x polinom felbontási teste lesz a saját prímteste fölött). Véges test multiplikatív csoportja ciklikus (bizonyítás annak mintájára, hogy létezik primitív gyök modulo tetszőleges prím, NB). Wedderburn tétele: minden véges ferdetest kommutatív (NB).

Hányadostest, konstrukciója (F3.15). Rendezett és elrendezett gyűrűk, ℂ nem elrendezhető (F5.21). Frobenius tétele, mint a számfogalom lezárása (F4.10, NB). A ℤ_{n} mint ℤ faktora, a maradékosztály és a redukált maradékosztály fogalma.

A számelmélet alaptétele főideálgyűrűkben (FIII/10–11. §). Két elem által generált ideál képlete kommutatív egységelemes gyűrűben. Ha (a, b) = (c), akkor c az a és b elemek kitüntetett közös osztója, és felírható ax + by alakban (ez az észrevétel helyettesíti az euklideszi algoritmust). Ezért főideálgyűrűben minden irreducibilis elem prím (bizonyítás mint egészekre). Minden főideálgyűrű alaptételes (NB). A ℤ[x] alaptételes, de nem főideálgyűrű, mert (2, x) nem főideál.

Szigorlati mintakérdések

– Oldjuk meg az 5x + 17y = 3 diofantikus egyenletet ℤ-ben.

– Hogyan célszerű a primitív gyök fogalmát definiálni nem prím modulus esetén (miért így, miért nem máshogy)? Létezik-e primitív gyök modulo 16?

– Mely számelméleti tételek bizonyításában jött elő a teljes indukció valamilyen formája?

– Milyen megoldási módszereket tanultunk diofantikus egyenletekre?

– Írjuk fel a szumma-jelölés segítségével a szorzatpolinom általános alakját.

– Bontsuk fel az alaptétel szerint a 6x^{4} + 36 polinomot ℤ, ℚ, ℝ, ℂ felett.

– Hány bázisa van egy valós feletti 9 dimenziós vektortérnek?

– Ha egy racionális együtthatós lineáris egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van ℂ-ben, hány megoldása lehet ℚ-ban?

– Soroljunk példákat algebrára. Van-e 24 elemű példa ℚ illetve ℝ felett?

– Ha egy síkbeli lineáris transzformációnak egyetlen sajátértéke a nulla, következik-e ebből, hogy a transzformáció nulla?

– A generálás fogalma hol jött elő az anyagban? (altér, részcsoport, ideál, test, stb.)

– Igaz-e, hogy ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = ℚ(\sqrt{6}, \sqrt{2} + \sqrt{6})?

– Az elemrend fogalmának milyen speciális esetei szerepeltek az anyagban?

– A GL(2, ℂ) csoportban normálosztót alkotnak-e a valós determinánsú mátrixok?

– Hány olyan ideálja van ℝ[x]-nek, ami x^{2} − 1-et tartalmazza?

– Soroljuk fel azokat a tanult gyűrűket, melyekben érvényes a számelmélet alaptétele. Melyekben van végtelen sok egység?

– Lehet-e \sqrt[7]{11} + \sqrt[11]{7} foka ℚ felett 18?

– Mi a hiba a következő állításban: egy komplex szám pontosan akkor algebrai ℚ felett, ha gyöke egy racionális együtthatós polinomnak?

– Szerkeszthető-e szabályos 100-szög? Elvégezhető-e a szög-ötödölés általában?

Kérdések a jobb jegyekre pályázóknak

– Van-e végtelen sok olyan prímszám, ami nem Mersenne- és nem Fermat-prím?

– Ha a, b, c ∈ ℤ és az ax+by = c diofantikus egyenlet megoldható a Gauss-egészek között, megoldható-e ℤ-ben is?

– Van-e akármilyen fokú irreducibilis polinom ℚ(\sqrt{2}) felett?

– Van-e olyan valós mátrix, melynek minimálpolinomja x^{n}? Hányszor hányas lehet ez?

– Hány 8 dimenziós altere van egy 9 dimenziós valós feletti vektortérnek?

– Hogyan volna célszerű a generált normálosztó fogalmát értelmezni? Igaz-e hogy az egy elemmel generált normálosztók kommutatívak?

– Euklidész bizonyításából, hogy van végtelen sok prímszám, nagyságrendileg milyen (jó vagy rossz) becslés jön ki π(x)-re?

– A minimálpolinom fogalma hogyan terjeszthető ki algebrák elemeire? Létezik-e, illetve irreducibilis-e mindig ez a polinom? Mi lesz az i + j kvaternió minimálpolinomja?

– Mennyire nőhet meg a generált részstruktúra mérete a generátorok számához képest a generálás tanult eseteiben?

– Megoldható-e a kockaötszörözés problémája, ha a körzőn és vonalzón kívül olyan eszközt is használhatunk, mellyel köbgyököt lehet szerkeszteni?