1. hét. A komplex szám, mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Összeg, szorzat, hányados. Valós és képzetes rész, konjugált, a konjugálás tulajdonságai. Komplex szám szöge és abszolút értéke, trigonometrikus alak. Szorzásnál a hosszak összeszorzódnak, a szögek összeadódnak.
Hányados hossza és szöge, az abszolút érték és a konjugáltság kapcsolata. Nullosztómentesség. Összeadás, mint vektorösszeadás, a háromszög-egyenlőtlenség. Hatványozás trigonometrikus alakban. Az n-edik egységgyök fogalma, számuk és trigonometrikus alakjuk. Gyökvonás komplex számból, a gyökök geometriai elhelyezkedése.
Cardano képlete, casus irreducibilis.
2. hét. Nem nulla komplex szám rendje (mint a különböző hatványainak a száma). Két hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a rend többszöröse. A rend a legkisebb pozitív egész, amire a számot emelve 1-et kapunk. Végtelen rendű elem hatványai páronként különbözők. Képlet a hatvány rendjére. Az n rendű számok neve: primitív n-edik egységgyök. Ezek éppen azok a számok, melyek hatványai pontosan az összes n-edik egységgyököket adják. Jellemzés a trigonometrikus alak segítségével. Az Euler-függvény.
A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinom együtthatója, főegyütthatója, foka, normált polinom, nullapolinom. Összeadás, kivonás, szorzás, nullosztómentesség, az egyszerűsítési szabály, a fokszám változása e műveleteknél. Polinomfüggvény, ezek összege és szorzata. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. Az algebra alaptétele (NB), gyöktényezős alak. A k-szoros gyök fogalma, itt a k egyértelműen meghatározott. Egy n-edfokú polinomnak multiplicitásokkal számolva n komplex gyöke van. Következmény: a polinomok azonossági tétele.
3. hét. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A Lagrange-interpoláció. A binomiális tétel. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések.
A többhatározatlanú polinom fogalma. Fok, homogén polinom, felbontás homogén polinomok összegére. A tagok lexikografikus rendezése. Következmény: nullosztómentesség, a szorzatpolinom foka. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség.
4. hét. A hatványösszegekre vonatkozó Newton-Girard formulák. Polinom formális deriváltja, összefüggés a polinom és deriváltja gyökeinek multiplicitása között.
A körosztási polinom fogalma, rekurzív képlet. Maradékos osztás polinomokra, egyértelműség, az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani. Következmények: a körosztási polinom egész együtthatós, az osztás nem vezet ki a valós és a racionális együtthatós polinomok közül (ha az oszthatóság komplex felett fennáll).
Számelmélet polinomok között: oszthatóság, asszociált, egység, felbonthatatlan (=irreducibilis) polinomok. Kitüntetett közös osztó, az euklideszi algoritmus. A számelmélet alaptétele ugyanazzal a bizonyítással érvényes, mint az egész számok között. Egységek és felbonthatatlanok a komplex és a valós fölött. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke (bizonyítás részben gyakorlaton).
5. hét. A racionális együtthatós polinomok számelmélete. Összefüggés racionális gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökök meghatározása. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.
Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, a Gauss-lemmák. A Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel bizonyítása.
6. hét. Művelet, asszociativitás, kommutativitás, bal- és jobboldali neutrális elem, inverz. Félcsoport, csoport, Abel-csoport, gyűrű, egységelem, nullosztómentesség, egyszerűsítési szabály, ferdetest, test.
Minden ferdetest nullosztómentes. Minden véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Wedderburn tétele: minden véges ferdetest kommutatív (NB). A Zn gyűrű, ez akkor és csak akkor test, ha n prímszám.
Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A többhatározatlanú polinomok rekurzív definíciója, a szimmetrikus polinomok alaptétele érvényben marad nullosztómentes gyűrű fölött. A gyöktényező kiemelhetősége. Végtelen, nullosztómentes gyűrű felett igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű felett nem. Gyűrűelem egész számszorosa, tulajdonságok. A derivált és a többszörös gyök kapcsolata nullosztómentes gyűrű fölött. A maradékos osztás tétele: nullosztómentes gyűrű felett lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. A polinomgyűrű egységei.
7. hét. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén. A részgyűrű fogalma, és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. Hányadostest. Ekvivalencia-reláció, kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés ekvivalencia-relációk és particiók között.
8. hét. Homomorfizmus és izomorfizmus, egységelem és inverz képe. A hányadostest létezése és egyértelműsége. Következmény: ha R alaptételes, akkor R[x1,...,xn] is az.
A modulo n maradékképzés, mint gyűrűhomomorfizmus. A Schönemann-Eisenstein tétel bizonyítása a Zp vizsgálatával. Ha minden elem p-szerese nulla egy gyűrűben (p prím), akkor itt tagonként lehet p-edik hatványra emelni. Következmény: a kis Fermat-tétel. A körosztási polinom irreducibilitásának bizonyítása.
9. hét. Az elem hatványának és az elemrendnek a fogalma általános csoportban. Az elemrend tulajdonságai (mint a komplex egységgyököknél). Nullosztómentes gyűrű karakterisztikája. Nulla karakterisztika esetén érvényes a deriváltpolinom gyökeinek multiplicitásáról szóló tétel.
A permutáció mint bijekció, kompozíció, inverz, a szimmetrikus csoport. Felbontás diszjunkt ciklusokra, a rend a ciklushosszak legkisebb közös többszöröse. Permutáció előjele, inverziók, szorzástétel, ciklus előjele.
10. hét. A Cardano-képlet diszkussziója: hogyan kapjuk meg a három gyököt? Többszörös gyökök és a diszkrimináns. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között. A negyedfokú egyenlet megoldási módszere.
Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.
11. hét. A sík vektorai, helyvektorok, összeadás és skalárral szorzás. Paralelogrammák előjeles területének egyértelmű létezése és kiszámítása. Egy T test feletti oszlopvektorok, összeadás, skalárral szorzás. Előjeles mérték létezése és egyértelműsége Tn-en, képlet. A determináns definíciója a kapott képlet segítségével, ez az oszlopainak előjeles mértéke. Következmény: a determináns oszlopcserénél előjelet vált, egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik.
12. hét. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra bizonyított szabályok sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa, a determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB).
A sík origót fixáló egybevágósági (és hasonlósági) transzformációi összeg- és skalárszoros-tartók (NB). A lineáris leképezés fogalma Tk-ból Tn-be. Lineáris leképezés megadása mátrix segítségével. Vektor képének kiszámítása, mátrix és vektor szorzata. A kompozíció mátrixa, mátrixok szorzása.
A determinánsok szorzástétele. A determináns eltűnésének jellemzése.
13. hét. A mátrixszorzás asszociativitása (annak következménye, hogy a leképezések kompozíciója asszociatív). Az egységmátrix és az inverz mátrix fogalma. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: MN=I akkor és csak akkor, ha NM=I. Az invertálás elvégzése Gauss-eliminációval. Elemi átalakítások és a mátrixszorzás.
Mátrixok összeadása, és skalárral szorzása, a műveletek tulajdonságai. A rezultáns és a diszkrimináns. Alkalmazás a másod- és harmadfokú egyenlet esetében.
14. hét. A determináns Laplace-féle kifejtése. A Cauchy-Binet formulák.