1. alkalom. A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, a polinom egyértelműen meghatározza az együtthatóit, nullapolinom. Nem nulla polinom foka. Műveletek polinomokkal: összeadás, kivonás, ellentett, szorzás, ezek tulajdonságai. Szorzatpolinom foka, nullosztómentesség. A polinomfüggvény fogalma. Polinom gyöke. Az algebra alaptétele: komplex felett minden nem konstans polinomnak van gyöke (bizonyítás nélkül). A gyöktényező kiemelhetősége. Gyöktényezős alak.
2. alkalom. A gyöktényezős felbontás egyértelműsége komplex felett. A gyökök maximális száma. A polinomok azonossági tétele. Többszörös gyökök, kanonikus alak, ennek egyértelműsége. Maradékos osztás polinomok között. A hányados és a maradék együtthatói az alapműveletekkel kifejezhetők, és osztani csak az osztó főegyütthatójával kell. A maradékos osztás egyértelmű. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám ugyanannyiszoros gyöke, mint a konjugáltja. Valós feletti polinomok felbontása legfeljebb másodfokú tényezőkre.
3. alkalom. Számelmélet polinomok között: oszthatóság, asszociáltak, egységek, C[x], R[x], Q[x], Z[x] egységei. Kitüntetett közös osztó, egyértelműsége. C, R, Q felett elvégezhető az euklideszi algoritmus, ezért bármely két f és g polinomnak létezik kitüntetett közös osztója, és felírható fp+gq alakban alkalmas p és q polinomokra. Következmény: a kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága. Felbonthatatlan (=irreducibilis) polinomok; C, R, Q felett ezek azok a nem konstans polinomok, amelyek nem bonthatók alacsonyabb fokúak szorzatára. Minden irreducibilis polinom prímtulajdonságú. Következmény: igaz a számelmélet alaptétele.
C felett az irreducibilis polinomok pont az elsőfokúak, R felett az elsőfokúak és azok a másodfokúak, melyeknek diszkriminánsa negatív. Ha T a C, R, Q valamelyike, akkor T felett minden elsőfokú polinom irreducibilis; egy másod- vagy harmadfokú polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha nincs T-ben gyöke; ha egy legalább másodfokú polinomnak van T-ben gyöke, akkor nem irreducibilis (de ha nincs gyöke, attól még nem feltétlenül irreducibilis).
4. alkalom. Z[x] számelmélete (vö. Fuchs: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe, II, a 123. oldaltól kezdve). Gauss Lemma I: ha p prímszám Z-ben, akkor Z[x]-ben, mint konstans polinom, prímtulajdonságú. A primitív polinom fogalma. Gauss Lemma II: primitív polinomok szorzata is primitív. Gauss Lemma III: egész együtthatós polinom Q feletti felbontása Z feletti felbontássá módosítható. Az irreducibilis polinomok Z felett éppen a konstans felbonthatatlan számok, valamint a Q felett irreducibilis primitív polinomok. Következmény: a számelmélet alaptétele Z[x]-ben. A Schönemann-Eisenstein irreducibilitási kritérium.
A körosztási polinom definíciója. Rekurzív képlet a körosztási polinomra, a körosztási polinom egész együtthatós (bizonyítás gyakorlaton). A körosztási polinom irreducibilis Z felett (bizonyítás később).
5. alkalom. Polinom formális deriváltja, összeg, szorzat deriváltja, láncszabály. Ha az f komplex együtthatós polinomnak egy b komplex szám k-szoros gyöke (ahol k legalább 1), akkor a deriváltjának b pontosan k-1-szeres gyöke. Ezért f többszörös gyökei éppen (f,f') gyökei, és így egy polinomnak pontosan akkor nincs többszörös gyöke C-ben, ha relatív prím a deriváltjához.
Kétváltozós művelet fogalma, asszociativitás, kommutativitás, neutrális elem, inverz. Csoport; kommutatív vagy Abel-csoport. Gyűrű; kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrű; test. Kommutatív, egységelemes gyűrű feletti polinomgyűrű fogalma; ez is kommutatív, egységelemes gyűrű. Test feletti polinomgyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele (bizonyítás, mint C, R, Q esetén). Példák további testekre. Összeadás és szorzás modulo m: ezek műveletek a {0,1,...,m-1} halmazon, és a kapott Zm struktúra kommutatív, egységelemes gyűrű.
6. alkalom. Zm akkor és csak akkor test, ha nullosztómentes, akkor és csak akkor, ha m prímszám. Zm invertálható elemei éppen az m-hez relatív prím elemek. Minden test nullosztómentes. Ha R nullosztómentes, kommutatív, egységelemes gyűrű, akkor R[x] is az, sőt R[x]-ben szorzat foka a fokok összege. Ilyenkor igaz a polinomok azonossági tétele is. Ha R végtelen is, akkor a polinomfüggvények és a polinomok kapcsolata kölcsönösen egyértelmű, de általában nem. Példa nem nullosztómentes gyűrű feletti polinomra, melynek több gyöke van, mint a foka.
A mod m maradékképzés művelettartó Z-ből Zm-be, és a polinomok együtthatóira végezve Z[x]-ből Zm[x]-be is. Következmény: a Gauss-Lemma I egyszerű bizonyítása. Ha p prím, akkor Zp[x]-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni. Következmény: a kis-Fermat tétel. Ha n legalább 1, akkor az n-edik körosztási polinom irreducibilis Q és Z felett.
7. alkalom. Az xp-x gyöktényezős alakja Zp felett, a Wilson-tétel új bizonyítása. Az x2 kongruens -1 mod p megoldhatóságának szükséges feltétele levezethető a kis Fermat-tételből. Zm invertálható elemei zártak a mod m szorzásra. Az Euler-Fermat tétel. Az Euler-függvény. Ez multiplikatív, képlet a kanonikus alak segítségével. Az RSA nyilvános jelkulcsú titkosírás alapjai.
8. alkalom. Prímtesztek, álprímek, gyors hatványozás. Hatványozás csoportban, elemrend, két hatvány mikor egyenlő, hatvány rendje. A Zmx csoport, szám rendje modulo m. A rend és az Euler-függvény kapcsolata. Primitív gyök fogalma, létezésének bizonyítása prím modulus esetén. Szám indexe egy primitív gyök alapra nézve. A binom kongruencia megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele prím modulusra, a megoldások száma.
9. alkalom. Kvadratikus maradékok, számuk, az Euler-lemma. A Dirichlet-tétel nk+1 esetének bizonyítása körosztási polinomokkal. Az euklideszi gyűrű fogalma. Gauss-egészek, ezek euklideszi gyűrűt alkotnak.
10. alkalom. A Gauss-prímek leírása. A két négyzetszám összegeként előállítható számok leírása és az előállítások száma. A kvaterniók fogalma, műveletek.
11. alkalom. Kvaternió normája, inverze, a kvaterniók ferdetestet alkotnak. A norma multiplikatív. Az x2+1 polinomnak végtelen sok gyöke van a kvaterniók között. A négy négyzetszám tétel. A három négyzetszám tétel (bizonyítás nélkül). Mese a Waring problémakörről (lásd Turán-Gyarmati: 292-293). Példa nem alaptételes, egységelemes számgyűrűre.