Az előadáson ebben a félévben elsősorban csoportokról lesz szó. Beljebb hatolunk a véges csoportok szerkezetébe, módszereket tanulunk az egyszerű csoportok vizsgálatára. Igyekezni fogok szép bizonyításokat és alkalmazásokat mutatni: egyszerűbbeket (mint például a bűvös kocka rendezése), és nehezebbeket is (kártyakeverés, amihez mátrixokkal történő reprezentációk is szükségesek). Szó lesz véges testekről, és ennek kapcsán kódolási eljárásokról is.
Nem adjuk fel a korábban megszokott szemléletmódot, ezért most is elsősorban arra fogunk törekedni, hogy mélyebb elméleteket, eszközöket megismerjünk, és alkalmazzuk őket látszólag elemi problémák megoldására. Ezért az anyag követése továbbra is folyamatos erőfeszítést igényel, minden második órára nem érdemes beülni.
A vizsga írásbeli lesz, az utolsó órán írjuk. A vizsga anyaga az, ami az előadáson elhangzik. Aki már túljutott az algebra szigorlaton, annak biztosan megvannak a képességei az anyag elsajátításához! Ezért a számonkérés célja csak az anyag ismeretének ellenőrzése lesz. Azt gondolom, hogy bárki, aki végighallgatja és rendesen megtanulja az anyagot, képes lesz jó jegyet szerezni belőle.
1994. őszén az akkor másodéves hallgatóknak kiosztottam stencilen a csoportelméleti előadás anyagát. Ennek ismeretét a kurzus feltételezi (noha igyekszem a fogalmakat és tételeket menet közben átismételni). Ennek ellenére érdemes a stencilt forgatni. Akinek nincs meg, innen letöltheti:
Csoportelméleti bevezető jegyzet: dvi ps
1. alkalom.
A kártyakeverésről szóló tétel (nb). A bűvös kockához tartozó
permutációcsoport. Konjugálás, egy jó forgatás-sorozat.
A GAP csoportelméleti program.
A jó kockaforgatásokat tartalmazó
GAP input file. Használata a turán gépen (minta):
2. alkalom. A kommutátor fogalma. Kis halmazt mozgató permutációk keresése, a legalább ötelemű halmazon ható alternáló csoport egyszerű. Orbit, stabilizátor, gráfok szimmetriáinak száma. Adott számú szimmetriával rendelkező gráfok konstrukciója.
Írásban beadható házi feladat: Rajzoljunk olyan legalább két csúcsú gráfot, aminek az identitáson kívül nincs olyan, a csúcsok halmazát önmagába képző, de nem feltétlenül bijektív leképezése, ami élt élbe visz. Vigyázzunk, egy él két végpontját csak akkor szabad egy csúcsra összeejteni, ha ezen a csúcson hurok van! A megoldáshoz indoklás nem szükséges, csak magának egy ilyen gráfnak a rajza.
3. alkalom. Adott szimmetriacsoportú gráf konstrukciója. A Sylow-tételek (jegyzet 18-21. oldal).
4. alkalom. A Sylow-tételek bizonyítása (jegyzet 18-21. oldal).
Írásban beadható házi feladat: Legyen G véges csoport, és A,B részcsoportok G-ben. Mutassuk meg, hogy AB elemszáma úgy kapható, hogy A és B elemszámait összeszorozzuk, és ezt elosztjuk A és B metszetének elemszámával. Keressünk olyan megoldást, ami az orbit-stabilizátoros tételt használja.
5. alkalom. A Sylow-tételek alkalmazásai: pq és pnq rendű csoportok. Burnside két prímes tétele (bizonyítás nélkül).
6. alkalom. Ortogonális latin négyzetek. Négy hosszú kört nem tartalmazó páros gráfok maximális élszáma. A véges projektív síkok elemi tulajdonságai. Prímhatványrendű síkok konstrukciója.
Írásban beadható házi feladat: Konstruáljunk két ortogonális nyolcadrendű latin négyzetet.
7. alkalom. Koordinátázható projektív síkok kollineációinak leírása (csak részben bizonyítva), a projektív általános lineáris csoport. A többszörös tranzitivitás jellemzése, három-tranzitív csoportok konstrukciója geometriai és algebrai úton.
8. alkalom. Csoportreprezentációk mátrixokkal és lineáris transzformációkkal. Reprezentációk foka, direkt összege, ekvivalenciája, karaktere, invariáns altere, irreducibilitása. Maschke tétele.
9. alkalom. Schur-Lemma, ortogonalitási relációk koordinátafüggvényekre és karakterekre. Az irreducibilis karakterek jellemzése. Ha két karakter egyenlő, akkor a reprezentációk ekvivalensek. A reguláris reprezentáció. Véges sok irreducibilis reprezentáció van, fokszámuk négyzetösszege a csoport rendje.
10. alkalom. Abel-csoportok jellemzése karakterekkel. Az osztályfüggvények tere. Az irreducibilis karakterek száma megegyezik a konjugált elemosztályok számával. Példák karaktertáblára.
Írásban beadható házi feladat: Számítsuk ki a tizedrendű diédercsoport karaktertábláját.
11. alkalom. Skaláris szorzat valós és komplex felett. Ortonormált bázis létezése és megkeresése a Schmidt-féle eljárással. A háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és unitér transzformációk, jellemzésük mátrixokkal, sajátértékeik. Ha egy A mátrix minden komplex sajátértéke egynél kisebb abszolút értékű, akkor a mátrix hatványai nullához tartanak. Véges csoport minden reprezentációja unitér alkalmas skalárszorzatra nézve.
12. alkalom. A kártyakeverési tétel bizonyítása. A lineáris karakterek száma a kommutátorrészcsoport indexe.
A kémiai alkalmazáshoz tartozó irodalom: Schonland, D. S., Molecular symmetry. Van Nostrand, 1965.
13. alkalom. Karakter magja és centruma. Az algebrai egészek gyűrűje. Burnside kétprímes tételének vázlatos bizonyítása.
Az első vizsgadolgozatot az utolsó előadáson írjuk (május 16-a).
Az első vizsgadolgozat: dvi ps Megoldás: dvi ps
A második illetve harmadik vizsgadolgozatot május 30-án illetve JúLius 3-án írjuk, reggel 9-kor. Az időtartam két óra, és semmit sem lehet használni. Akinek konzultációra van szüksége, emailezzen nekem.
A második vizsgadolgozat: dvi ps Megoldás: dvi ps
A harmadik vizsgadolgozat: dvi ps Megoldás: dvi ps
Akinek még jegyre van szüksége, forduljon Hermann Péterhez emailben.