1. előadás. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma, és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér, mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. Lineáris kombináció, a generált altér elemeinek jellemzése. Lineáris függés és függetlenség, tulajdonságaik, kapcsolatuk. Végtelen vektorrendszer függetlensége. A bázis fogalma, jellemzése, mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Következmény: véges bázis létezése végesen generált vektortérben.
A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel (bizonyítás a második héten). Következmények: független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. A dimenzió fogalma. Valódi altér dimenziója.
2. előadás. Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független rendszerek elemszáma. Alterek összege, mint az unió által generált altér. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű. Kettőnél több altér direkt összege, ennek jellemzései. Direkt kiegészítő altér létezése. Alterek összegének dimenziója (bizonyítás gyakorlaton).
A lineáris leképezés, mint vektorterek közötti homomorfizmus; lineáris transzformáció. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel.
3. előadás. Vektor koordinátái adott bázisban. Tetszőleges n-dimenziós vektortér izomorf Tn-nel. Műveletek lineáris leképezések között. Az algebra fogalma, a lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk algebrát alkotnak. Összefüggés a mátrixműveletek, és a lineáris leképezések műveletei között, ennek vektortér- és algebra-izomorfizmusként való megfogalmazása. Vektor képének koordinátái. A bázistranszformáció képletei (vektor illetve mátrix hogyan transzformálódik).
A bijektív transzformációk jellemzése bázisvektorok képével. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A Hom(V,W) dimenziója, a duális tér.
Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. A rang legfeljebb akkora, mint az értelmezési tartomány dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Mátrix oszloprangja, lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának a rangja. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang, mindez a Gauss-eliminációnál keletkező vezéregyesek száma (bizonyítás csak vázlatosan).
4. előadás. A determináns akkor és csak akkor nulla, ha oszlopai lineárisan összefüggenek. Transzformáció determinánsa, mint adott bázisban vett mátrixának a determinánsa, ez nem függ a bázis választásától. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal- illetve jobbinverze, nem bal- illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív, determinánsa nem nulla). A jellemzés átvitele mátrixokra.
Egy n-dimenziós vektortéren ható transzformáció, illetve n-szer n-es mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja. Ennek gyökei a sajátértékek, így legfeljebb n sajátérték van. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha n különböző sajátérték van, akkor a transzformáció diagonalizálható.
Lineáris transzformációk és mátrixok polinomjai. Az A transzformáció mA minimálpolinomja a legalacsonyabb fokú polinom, aminek A gyöke; egy f polinomnak A akkor és csak akkor gyöke, ha f a minimálpolinomnak többszöröse. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak.
Ha V n-dimenziós vektortér, akkor Hom(V) elemeinek illetve az n-szer n-es mátrixoknak a minimálpolinomja legfeljebb n2 fokú. A Cayley-Hamilton tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának (bizonyítás később). Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb n; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek; ha n különböző sajátérték van, akkor a minimálpolinom a karakterisztikus polinom konstansszorosa.
A Jordan-alak (NB), egyértelműség (NB). A Jordan-normálalak hatványozása (GY).
5. előadás. Az invariáns altér fogalma. A minimálpolinom prímhatványok szorzatára való felbontásából a tér invariáns alterek direkt összegére való felbontása adódik. Az ezen alterekre vett megszorítások minimálpolinomjai az eredeti minimálpolinom megfelelő tényezői (HF). Következmény: a transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres. Bővebb test felett a minimálpolinom ugyanaz (GY).
Bilineáris leképezés, ennek előírhatósága bázispáron. Bilineáris függvény mátrixa. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, valós felett minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. Egy bilineáris függvény akkor és csak akkor diagonalizálható, ha szimmetrikus. Ortogonalitás, a Gram-Schmidt ortogonalizáció. Sylvester tehetetlenségi tétele (bizonyítás a 6. előadáson). A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok (NB).
6. előadás. Sylvester tehetetlenségi tételének bizonyítása.
Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban.
Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. Merőlegesség, hossz, szög, a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség (a komplex eset bizonyítása gyakorlaton), a háromszög-egyenlőtlenség. Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.
Ha a W altér A-invariáns, akkor az ortogonális kiegészítő altere A*-invariáns. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Komplex felett minden transzformáció alkalmas ortonormált bázisban felső háromszögmátrix (NB).
7. előadás. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak.
Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve +1-et vagy -1-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik (NB).
Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.
8. előadás. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának, és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
Példák csoportokra: gyűrű additív és multiplikatív csoportja, az általános lineáris csoport, a diédercsoport, a kvaterniócsoport (gyakorlaton). A szimmetrikus és az alternáló csoport. Ciklusfelbontás, az előjel megállapítása (gyakorlaton). Csoportelem rendje, ennek elemi tulajdonságai, jó kitevő, a hatvány rendjének képlete. Elemrend a szimmetrikus csoportban.
Egy elemmel generált részcsoport, ciklikus csoport. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. Egy n rendű ciklikus csoportnak minden d|n esetén egyetlen d rendű részcsoportja van. Következmény: a d rendű elemek száma. Izomorfizmus, minden ciklikus csoport izomorf a Z+ illetve a Zn+ csoportok valamelyikével.
Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Partíció és ekvivalencia-reláció, kapcsolatuk. Lagrange tétele, mellékosztály, index.
9. előadás. A baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van csak két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus. Következmény: ha p prím, akkor p rendű csoportból izomorfia erejéig csak egyféle van.
A generált részcsoport általános fogalma és létezése. A generált részcsoport elemeinek leírása az általános, illetve a kommutatív esetben. Az Sn-et generálja az (12) és az (12...n) (bizonyítás gyakorlaton).
Permutációcsoport, fok, orbit, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A kocka szimmetriáinak a száma. Csoport hatása halmazon.
10. előadás. Homomorfizmus képe és magja, a normálosztó fogalma. Faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel. Elem rendje a faktorcsoportban.
Kettő indexű részcsoport normálosztó. A konjugálás mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugált osztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugált osztályok egyesítése. Centralizátor, a konjugált osztály elemszáma a centralizátor indexe. Centrum, ez normálosztó.
A p-csoport fogalma. Prímhatványrendű csoport centruma nemtriviális. Prímnégyzet rendű csoport kommutatív. Általánosítás: a centrum szerinti faktor nem lehet ciklikus.
A Sylow-tételek (bizonyítás csak jövőre). Következmény: Cauchy tétele, véges p-csoport az, amiben minden elem p-hatványrendű.
A direkt szorzat fogalma. A direkt szorzat belső jellemzése két tényező esetén.
11. előadás. A direkt szorzat belső jellemzése véges sok tényező esetén. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás csak jövőre).
A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek (bizonyítás csak matematikusoknak, jövőre).
Feloldható csoportok, Jordan-Hölder tétele (bizonyítás csak matematikusoknak, jövőre). Minden Abel-csoport, véges p-csoport, illetve páratlan rendű véges csoport feloldható (az utóbbi állítás a Feit-Thompson-tétel, 200 oldalas bizonyítással, NB). Burnside tétele: ha egy véges csoport rendje csak két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható (bizonyítás remélhetőleg jövőre).
Egyszerű csoportok. A kommutatív, prímhatványrendű, illetve a páratlan rendű egyszerű csoportok pontosan a prímrendűek. A legalább ötödfokú alternáló csoport egyszerű (bizonyítás jövőre). Következmény: a szimmetrikus csoport mikor feloldható. Egyenletek megoldhatósága (csak mese). Lineáris csoportok, rendjeik (gyakorlaton), PSL(n,T) egyszerű, kivéve PSL(2,2), PSL(2,3) (NB). Mese a klasszifikációról.
A szabad csoport fogalma és megadása (bizonyítás csak jövőre). Definiáló relációk, Dyck tétele (bizonyítás csak jövőre).
A Klein-csoport, a négyelemű, hatelemű és nyolcelemű csoportok száma (bizonyítás csak részben, a gyakorlaton). Cayley-táblázat, Cayley tétele.