1. alkalom. Modulusok bővítésének fogalma, egzakt, félig egzakt és rövid egzakt sorozat. A projektív és injektív modulus fogalma, kapcsolatuk a Hom egzaktságával és a megfelelő bővítések szétesésével. A projektívek pontosan a szabadok direkt összeadandói. Minden modulus beágyazható injektívbe (NB). Projektív és injektív (NB) modulusok főideálgyűrű felett, az osztható Abel-csoportok struktúratétele (NB).
Bővítések ekvivalenciája. Abel csoportok bővítésének faktorrendszere. A direkt szorzathoz, mint triviális bővítéshez tartozó faktorrendszerek leírása, transzformációrendszer. Ekvivalens bővítések jellemzése (NB), az Ext csoport. Hosszú egzakt sorozat létezése Abel-csoportok esetén (Cartan-Eilenberg, NB). Következmény: Ext(Zn, A) izomorf A/nA-val.
2. alkalom. A (kommutatív, egységelemes) Noether-gyűrű fogalma. Hilbert "bázis" tétele: Noether-gyűrű feletti polinomgyűrű is Noether-féle. A prímideál és a primér ideál fogalma, ideál radikálja, primér ideál radikálja prímideál. Ideálok felbontása Noether-gyűrűben metszet-irreducibilisek metszetére; itt minden metszet-irreducibilis ideál primér. Következmény: Noether-Lasker tétele. Az egyértelműség kérdése (NB).
3. alkalom. Egész elemek egységelemes integritási tartomány fölött. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Az egészek jellemzése véges modulusbővítésekkel, az egészek gyűrűt alkotnak.
Ha egy test véges sok elemmel vett gyűrűbővítése is test, akkor a bővítő elemek mindegyike algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljainak a leírása.
4. alkalom. Galois-kapcsolat többváltozós polinomok és gyökeik között, zárt halmazok a polinomgyűrűben, Hilbert nullhelytétele.
A Schur-Lemma. Egy egyszerű modulus, mint vektortér a saját endomorfizmusgyűrűje fölött. Jacobson sűrűségi tétele, lineáris transzformációk sűrű részgyűrűi.
5. alkalom. Egységelemes gyűrű Jacobson-radikálja, mint az egyszerű R-modulusok annullátorainak metszete. Következmény: minden gyűrű radikál szerinti faktora sűrű mátrixgyűrűk szubdirekt szorzata. A Jacobson-radikál az R maximális balideáljainak metszete (NB), és azon x elemek halmaza, melyekre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Következmény: a radikál minden nilpotens balideált tartalmaz. Az 1-xr jobbinvertálható is, a radikál független attól, hogy balról vagy jobbról definiáljuk (NB). Artin-gyűrű radikálja nilpotens, és így a gyűrű legnagyobb nilpotens (bal)ideálja.
6. alkalom. Wedderburn-Artin-tétel: Artin-gyűrű radikál szerinti faktora véges sok, ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű direkt szorzata. A féligegyszerű Artin gyűrűk jellemzései modulusokkal: minden modulus projektív/injektív, minden részmodulus direkt összeadandó, illetve minden modulus teljesen reducibilis (NB). Az irreducibilis modulusok száma (NB). A radikál és a Wedderburn-Artin tétel kiterjesztése test feletti algebrákra.
A felcserélhető kongruenciák fogalma. Malcev-függvénnyel rendelkező algebrák kongruenciái felcserélhetők, és a kongruenciaháló moduláris. Ha van csoportművelet, akkor van Malcev-függvény is. A Kuros-Ore-tétel.
7. alkalom. A Jordan-Dedekind tétel moduláris hálókban, és a Jordan-Hölder tétel csoportokban: analógiák és különbségek. A dimenziófüggvény és a dimenzió-egyenlet moduláris hálókban.
A szabad csoport elemeinek megadása. A Nielsen-Schreier tétel (NB).
Két elem kommutátora. A H és K normálosztók kommutátorrészcsoportja mint a megfelelő kommutátorok által generált részcsoport, ez normálosztó, része H és K metszetének. Egy csoport kommutátorrészcsoportja, a legnagyobb Abel-féle homomorf kép. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc főlánc, sőt elemei karakterisztikus részcsoportok.
8. alkalom. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A H normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben H normálosztó. Két részcsoport szorzatának rendje, ez mikor részcsoport (ismétlés tavaly gyakorlatról).
A p-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek (a permutációcsoportos bizonyítással). A p-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy p-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: pq rendű csoport nem lehet egyszerű.
Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. A ciklikus csoportok automorfizmus-csoportja. Nemkommutatív pq rendű csoport konstrukciója alkalmas p és q esetén. A pq rendű csoportok száma (NB).
9. alkalom. Permutációcsoport mint G-set, ekvivalencia, minden tranzitív permutációcsoport ekvivalens egy részcsoport szerinti mellékosztályokon való hatással. Többszörös (szigorú) tranzitivitás, regularitás, egy tranzitív csoport akkor és csak akkor k-szorosan tranzitív, ha a stabilizátorok k-1-szeresen tranzitívak, egy n elemű halmazon ható k-tranzitív csoport rendje osztható n(n-1)...(n-k+1)-gyel. Az affin csoport, ennek tranzitivitása. A projektív egyenes törtlineáris leképezéseinek példája szigorúan 3-tranzitív csoportra. A Mathieu-csoportok fokai és tranzitivitása (NB). A Frobenius-csoport fogalma, példák, Frobenius tétele (NB).
G-set kongruenciája. Megfeleltetés tranzitív csoport esetén a kongruenciák és a stabilizátort tartalmazó részcsoportok között. Következmény: a kongruenciaosztályok elemszáma egyenlő. Primitivitás, ennek jellemzése (a stabilizátorok maximális részcsoportok). Prímfokú tranzitív csoport primitív. Minden 2-tranzitív csoport primitív. Primitív csoport nemtriviális normálosztója tranzitív. Következmény: An egyszerű ha n legalább 5.
Az An automorfizmuscsoportja Sn, ha n nem 2, 3, 6 (NB). Schreier-sejtés, a majdnem egyszerű csoport fogalma, kapcsolat a 2-tranzitív csoportok leírásával.
10. alkalom. (Minden gyűrű egységelemes.) Részmodulusok függetlensége. Féligegyszerű modulus, mint egyszerű modulusok összege, ez néhány összeadandó direkt összege. Féligegyszerű modulus része és faktora is féligegyszerű, és minden részmodulus direkt összeadandó. Ha egy egyszerű gyűrűnek van minimális balideálja, akkor mint önmaga feletti modulus féligegyszerű, és minden egyszerű modulus ezzel a balideállal izomorf. Következmény: teljes mátrixgyűrű felett egyetlen egyszerű modulus van. Véges dimenziós féligegyszerű algebrák algebrailag zárt test felett, egyszerű modulusok, a centrum és dimenziója. A Jacobson-radikál, mint részmodulus csak akkor direkt összeadandó, ha nulla.
A csoportreprezentáció fogalma, foka és karaktere. Ekvivalens reprezentációk. A csoportalgebra, kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk között. Invariáns skaláris szorzat, Maschke tétele: a csoportalgebra féligegyszerű. Az egyszerű modulusok leírása, irreducibilis reprezentációk. A csoportalgebra centruma, osztályfüggvények. Az irreducibilis reprezentációk száma a csoport konjugált elemosztályainak a száma, a fokok négyzetösszege a csoport rendje. Abel-csoport reprezentációi.
A karaktertábla, elemei algebrai egészek. A reguláris reprezentáció, karaktere, felbontása irreducibilisek összegére. A karakterek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények között. Következmény: ha a karakterek egyenlők, akkor a reprezentációk ekvivalensek.
Karakter magja és centruma. Irreducibilis karakter foka osztója a csoport rendjének. Burnside tétele: véges nemkommutatív egyszerű csoportban nem lehet prímhatványrendű konjugált elemosztály. Következmény: ha egy csoport rendje legfeljebb két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható.