1. előadás. Cardano képletének ötlete. Példa arra, hogyan kaphatók meg az egyenlet gyökei negatív számok négyzetgyökeivel való formális számolással. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. A konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. Az összeadás a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak.
2. előadás. Nullosztómentesség. Komplex számok hatványozása. A háromszög-egyenlőtlenség. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Ha nem minden hatvány különböző, akkor a szám egységgyök, rendje véges, és a hatványok periódikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb pozitív egész, amire a számot emelve 1-et kapunk. Két hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a rend többszöröse. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív n-edik egységgyök fogalma, számuk. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök.
3. előadás. A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, főegyütthatója, foka, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói, nullosztómentesség. Az összeg és a szorzat foka.
A polinomfüggvény fogalma. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés (gyakorlaton), és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A nullosztómentesség miatt a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak.
A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. Következmény: a gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. Lagrange interpoláció. A k-szoros gyök fogalma, itt a k egyértelműen meghatározott.
A binomiális tétel. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések.
4. előadás. Polinom formális deriváltja, műveleti tulajdonságok. Összefüggés a polinom és deriváltja gyökeinek multiplicitása között.
Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani.
Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Egységek, asszociáltak, az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A kitüntetett közös osztó meghatározása az euklideszi algoritmussal, az eredmény racionális együtthatós polinomok esetében ugyanaz C, R, Q fölött. Az f többszörös gyökei pontosan az (f, f') gyökei. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között.
Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke (bizonyítás részben gyakorlaton).
5. előadás. Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. A racionális gyökök meghatározása.
A többhatározatlanú polinom fogalma. A tagok lexikografikus rendezése. Főtagok szorzata a szorzat főtagja. Következmény: nullosztómentesség. Többhatározatlanú polinom foka, a szorzatpolinom foka. Homogén polinom, felbontás homogén polinomok összegére.
A szimmetrikus polinomok alaptétele (egyértelműség csak említve). A hatványösszegekre vonatkozó Newton-Girard formulák.
6. előadás. A racionális együtthatós polinomok számelmélete. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.
Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Az első Gauss-Lemma: minden prímszám Z[x]-ben is prímtulajdonságú. Az egész együtthatós polinomok számelmélete: primitív polinom. A második Gauss-lemma. A Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel bizonyítása.
A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós.
7. előadás. A kétváltozós művelet általános fogalma. Asszociativitás, kommutativitás, neutrális elem, inverz. Asszociatív művelet esetén a szorzat nem függ a zárójelezéstől (NB). Kommutatív művelet esetén a szorzat nem függ a sorrendtől (NB). Egy műveletnek csak egy kétoldali neutrális eleme lehet (bizonyítás a gyakorlaton). A kétoldali inverz egyértelmű (bizonyítás a gyakorlaton). Elem hatványai, a hatványozás azonosságai (bizonyítás gyakorlaton).
Csoport, Abel-csoport, gyűrű, ferdetest, test, nullosztómentesség, példák. Elemi számolási szabályok (bizonyítás gyakorlaton). Minden ferdetest nullosztómentes. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám (bizonyítás gyakorlaton).
Művelettartó leképezés, egységelem és inverz képe (gyakorlaton). A modulo n maradékképzés, mint gyűrűhomomorfizmus.
Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A többhatározatlanú polinomok rekurzív definíciója. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem.
Gyűrűelem egész számszorosa, tulajdonságok. Ha minden elem p-szerese nulla egy gyűrűben (p prím), akkor itt tagonként lehet p-edik hatványra emelni (gyakorlaton). Következmény: a kis Fermat-tétel (gyakorlaton).
8. előadás. A számelmélet alapjai általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis elem, alaptételes gyűrű. A polinomgyűrű egységei.
Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. A legnagyobb közös osztó nem függ attól, hogy mi fölött vizsgáljuk. A legnagyobb közös osztó leolvasása a kanonikus alakból. A derivált és a többszörös gyök kapcsolata nullosztómentes gyűrű fölött.
Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén.
Kommutatív, nullosztómentes gyűrű hányadosteste (NB). Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az. Következmény: Z[x1,...,xn] és T[x1,...,xn] alaptételes, ahol T test.
A szimmetrikus polinomok alaptétele érvényben marad nullosztómentes gyűrű fölött, az egyértelműség megfogalmazása és bizonyítása.
A körosztási polinom irreducibilitásának bizonyítása.
9. előadás. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen (biz. részben gyakorlaton).
A sík vektorai: összeadás és skalárral szorzás. Tn mint a T test fölötti n magas oszlopvektorok "tere", összeadás, T-beli skalárral szorzás.
Geometriai transzformációk mint lineáris leképezések a síkon. Egy vektor képének kiszámítása, ha a két egységvektor képét ismerjük. A leképezés mátrixa, mátrix és oszlopvektor szorzata. Két leképezés kompozíciójának mátrixa, a mátrix-szorzás definíciója. Következmény a (kétszer kettes valós) mátrixok szorzása asszociatív. A sík lineáris transzformációinak összege, és ezek mátrixa.
Általános mátrixok közötti műveletek: összeadás, szorzás, skalárral való szorzás, műveleti tulajdonságok (egyelőre bizonyítás nélkül). A négyzetes mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak. Az inverz mátrix definíciója, és kiszámítása Gauss-eliminációval (NB). A transzponált mátrix.
10. előadás. A determináns alaptulajdonságai (minden változóban lineáris, és ha két változó egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. Az eltűnés feltétele (bizonyítás később). A transzponált mátrix determinánsa (bizonyítás később). Következmény: az oszlopokra feltett tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa, a determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB). A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele (bizonyítás később). Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály.
Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata (bizonyítás gyakorlaton). Inverziók, permutáció előjele. Az előjelek szorzástétele. Inverz és transzpozíció előjele (utóbbi gyakorlaton). A páros permutációk száma (gyakorlaton).
11. előadás. A determináns definíciója. A determináns alaptulajdonságainak bizonyítása (transzponált, felső háromszögmátrix, szorzástétel is). A determináns Laplace-féle kifejtése (NB). A Cauchy-Binet formulák (NB).
A Cardano-képlet diszkussziója: hogyan kapjuk meg a három gyököt? Többszörös gyökök és a diszkrimináns. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis.