1. alkalom. A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Minimálpolinom, algebrai és transzcendens elemek. A minimálpolinom jellemzése az irreducibilitás segítségével. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete, ha a generáló elem transzcendens. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele. Következmények: elem foka osztója a bővítés fokának, minden véges bővítés algebrai.
2. alkalom. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste, ez algebrailag zárt. Algebrailag zárt bővítés létezése általános test esetén (bizonyítás később).
A felbontási test fogalma. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Minden véges test tökéletes (bizonyítás később). Tökéletes test véges bővítése egyszerű.
Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma.
3. alkalom. Izomorfizmusok kiterjesztése (bizonyítás részben később). A Galois-elmélet főtétele. Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei. Konjugált résztestek és konjugált részcsoportok kapcsolata, normális közbülső test Galois-csoportja mint faktorcsoport (bizonyítás csak vázlatosan).
4. alkalom. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű. Az izomorfizmus-kiterjesztési tétel bizonyítása. Következmény: a felbontási test egyértelmű. Egyszerű testbővítés konstrukciója. Az algebrai lezárt létezése (csak vázlatosan). Az algebrai lezárt egyértelműsége (NB). Prímtest, szerkezete.
5. alkalom. Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka.
Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
6. alkalom. Geometriai szerkeszthetőség. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.
7. alkalom. Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma. Az xp-a polinom felbontási teste; ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor ez a bővítés első vagy p-edfokú. Megfordítás: ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor minden p fokú bővítés így kapható; Lagrange-rezolvens. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. Minden egységgyök gyökkifejezés. Az x5-4x+2 polinom Galois-csoportja S5, és így nem oldható meg gyökjelekkel. Az általános n-edfokú egyenlet Galois-csoportja Sn (NB). Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.
8. alkalom. Véges nullosztómentes gyűrű test. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (bizonyítás gyakorlaton). A jobb és baloldali annullátor fogalma gyűrűben. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
Rendezett integritási tartomány, pozitivitástartomány és jellemzése, az elrendezhetőség feltétele (NB). A kvaterniótest. Frobenius tétele valósan zárt test feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrákról (NB).
9. alkalom. A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Homomorfizmus, faktormodulus. Részmodulus, a generált részmodulus elemeinek képlete, ciklikus modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
A rend fogalma általában, és főideálgyűrű fölött. Nulla rendű ciklikus modulus szabad. Nem nulla rendű ciklikus modulus, mint az alapgyűrű faktormodulusa. Főideálgyűrű fölött a nem nulla rendű ciklikus modulusok prímhatványrendű ciklikusok direkt összegei.
A bázis fogalma, a bázis szabad generátorrendszer. Gyenge függetlenség, gyenge bázis, és kapcsolata ciklikus részmodulusok direkt összegére való felbonthatósággal. Ha a modulusban megadunk egy bázist, akkor egy részmodulus egy generátorrendszere egy mátrixszal adható meg. A mátrix elemi átalakításainak kapcsolata a bázis illetve a generátorrendszer megváltoztatásával. Euklideszi gyűrű felett minden mátrix elemi átalakításokkal normálalakra hozható.
10. alkalom. Következmény: euklideszi gyűrű feletti végesen generált modulus ciklikusok direkt összege, és minden részmodulusa is végesen generált. Kapcsolat a fellépő ciklikus modulusok generátorelemeinek rendjei, és a mátrix normálalakjának főátlójában szereplő elemek között. A főátló utolsó eleme a modulus exponense.
A felbontás egyértelműségének kérdése. Torzió-részmodulus, a szerinte vett faktor torziómentes. A nulla rendű elemek által generált ciklikus tényezők száma egyértelmű. Az M[p] részmodulus, ez vektortér az R/(p) test felett, dimenziója a p-hatványrendű tényezők száma. Az M[p] szerinti faktor felbontásában szereplő tényezők rendjei, az egyértelműség bizonyítása.
A Jordan-normálalakról szóló tétel bizonyítása modulusok segítségével. A karakterisztikus mátrix szerepe, normálalakjában az utolsó elem a minimálpolinom. Következmény: a Cayley-Hamilton tétel. A blokkok méreteinek leolvasása a normálalakról, determinánsosztók (gyakorlaton).
11. alkalom. Kommutatív gyűrű feletti modulusok bihomomorfizmusa és tenzorszorzata, ennek univerzális tulajdonsága. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus. Direkt összeg és tenszorszorzat. Következmény: a tenzorszorzat szerkezete vektorterek esetében. Homomorfizmusok tenzorszorzata.
Jacobson-radikál, Wedderburn-Artin tétel, Hilbert nullahelytétele (csak mese).
A háló definíciója rendezés illetve műveletek segítségével, a dualitási elv. Teljes háló, itt elég az egyik művelet létezését feltenni. Fedés, hálók lerajzolása.
12. alkalom. Általános algebrai struktúrák, részstruktúra, részalgebraháló. Típus, homomorfizmus, direkt szorzat.
Kongruencia, faktor, kongruenciaháló. Kongruenciák egyesítésének leírása, a kongruenciaháló a partícióháló teljes részhálója.
Szubdirekt szorzat, triviális szubdirekt szorzat, szubdirekt irreducibilis algebrák, jellemzésük (NB), Birkhoff tétele a szubdirekt felbontásról (NB).
A szabad algebra általános fogalma, Birkhoff tétele a szabad algebra létezéséről (NB). A három elemmel generált szabad disztributív háló szerkezete (NB).
Hálóban intervallum, leszálló, konvex részhalmaz, ideál, filter, komplementum. A disztributív háló fogalma. Kongruenciák készítése, a szubdirekt irreducibilis disztributív hálók jellemzése (NB). Stone reprezentációs tétele. Többségi termmel rendelkező algebrák, speciálisan a hálók kongruenciahálója disztributív.
A moduláris háló fogalma, példák. Dedekind és Birkhoff tételei a modularitás illetve a disztributivitás tiltott részhálókkal való jellemzéséről (NB). A három elemmel generált szabad moduláris háló rajza (NB). A négy elemmel generált szabad moduláris háló szóproblémája eldönthetetlen (Freese-Herrmann, NB).
13. alkalom. Az intervallumok izomorfizmus-tétele moduláris hálókban. Jordan-Dedekind tétel, a magasságfüggvény és a dimenzió-egyenlet (NB).
A Boole algebra fogalma, azonosságai. Boole-gyűrűk. Szubdirekt irreducibilis Boole-algebrák, Stone reprezentáció (NB). A végesen generált szabad Boole-algebrák elemszáma (NB).
A kategória fogalma, kovariáns és kontravariáns funktorok. A Hom mint bifunktor. A direkt szorzat kategóriaelméleti jellemzése (NB).
A kódelmélet alapjai: Hibajelzés és javítás, Hamming-távolság, perfekt kódok, a Singleton-korlát. Lineáris kódok, generátor- és paritásellenőrző mátrix, Hamming-kód. Polinomkódok, elégséges feltétel a t-hibajavításra. Ciklikus, BCH és Reed-Solomon kódok, a CD matematikája.