1. alkalom. Modulusok közötti homomorfizmusok csoportja. A Hom értelmezése leképezéseken. Diagramm kommutativitása, egzakt, félig egzakt és rövid egzakt sorozat.
Modulusok bővítésének fogalma, bővítések ekvivalenciája. Abel csoportok bővítésének faktorrendszere. A direkt szorzathoz, mint triviális bővítéshez tartozó faktorrendszerek leírása, transzformációrendszer. Ekvivalens bővítések jellemzése (NB), az Ext csoport.
2. alkalom. A projektív és injektív modulus fogalma, kapcsolatuk a Hom egzaktságával és a megfelelő bővítések szétesésével. A projektívek pontosan a szabadok direkt összeadandói. Minden modulus beágyazható injektívbe (NB). Projektív és injektív (NB) modulusok főideálgyűrű felett, az osztható Abel-csoportok struktúratétele (NB).
Hosszú egzakt sorozat létezése Abel-csoportok esetén (Cartan-Eilenberg, NB). Következmény: Ext(Zn, A) izomorf A/nA-val.
A direkt szorzat kategóriaelméleti jellemzése.
3. alkalom. A kategória fogalma, kovariáns és kontravariáns funktorok. A Hom mint bifunktor.
Kommutatív gyűrű feletti modulusok bihomomorfizmusa és tenzorszorzata, ennek univerzális tulajdonsága. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus. Direkt összeg és tenszorszorzat. Következmény: a tenzorszorzat szerkezete vektorterek esetében. Homomorfizmusok tenzorszorzata, a tenzorszorzat mindkét változójában kovariáns bifunktor.
A Schur-Lemma. Egy egyszerű modulus, mint vektortér a saját endomorfizmusgyűrűje fölött.
4. alkalom. Jacobson sűrűségi tétele. Egységelemes gyűrű Jacobson-radikálja, mint az egyszerű R-modulusok annullátorainak metszete. A Jacobson-radikál az R maximális balideáljainak metszete (NB), és azon x elemek halmaza, melyekre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Következmény: a radikál minden nilpotens balideált tartalmaz. Az 1-xr jobbinvertálható is, a radikál független attól, hogy balról vagy jobbról definiáljuk (NB). Artin-gyűrű radikálja nilpotens, és így a gyűrű legnagyobb nilpotens (bal)ideálja.
5. alkalom. Wedderburn-Artin-tétel: Artin-gyűrű radikál szerinti faktora véges sok, ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű direkt szorzata. A féligegyszerű Artin gyűrűk jellemzései modulusokkal: minden modulus projektív/injektív, minden részmodulus direkt összeadandó, illetve minden modulus teljesen reducibilis. Az irreducibilis modulusok száma. A radikál és a Wedderburn-Artin tétel kiterjesztése test feletti algebrákra.
A háló definíciója rendezés illetve műveletek segítségével, a dualitási elv. Teljes háló, itt elég az egyik művelet létezését feltenni. Fedés, hálók lerajzolása. Általános algebrai struktúrák, részstruktúra, részalgebraháló. Típus, homomorfizmus, direkt szorzat.
6. alkalom. Kongruencia, faktor, kongruenciaháló. Kongruenciák egyesítésének leírása, a kongruenciaháló a partícióháló teljes részhálója.
Szubdirekt szorzat, jellemzése kongruenciákkal. Triviális szubdirekt szorzat, szubdirekt irreducibilis algebrák, jellemzésük, Birkhoff tétele a szubdirekt felbontásról.
A disztributív háló fogalma. Kongruenciák készítése, a szubdirekt irreducibilis disztributív hálók jellemzése. Stone reprezentációs tétele. Többségi termmel rendelkező algebrák, speciálisan a hálók kongruenciahálója disztributív.
7. alkalom. A szabad algebra általános fogalma, Birkhoff tétele a szabad algebra létezéséről. A három elemmel generált szabad disztributív háló szerkezete (NB).
Term, term-függvény, polinom-függvény. Az adott típusú szabad algebra mint a termek algebrája. Az azonosság fogalma, varietás. A H, S, P operátorok, felcserélhetőségi viszonyaik. Birkhoff tétele: a varietások a HSP-re zárt osztályok (bizonyítás csak vázlatosan).
Kongruencia-felcserélhető algebrák és varietások, Malcev tétele. Véges sok egyszerű algebra szubdirekt szorzata Malcev-varietásban.
Hálóban intervallum, leszálló, konvex részhalmaz, ideál, filter, komplementum. Pudlak és Tuma tétele: minden véges háló beágyazható véges partícióhálóba (NB). Ore tétele: minden partícióháló egyszerű (NB).
A Boole algebra fogalma, azonosságai. Szubdirekt irreducibilis Boole-algebrák, Stone reprezentáció. A Boole-algebrák varietása kongruencia-felcserélhető. Következmény: a véges Boole-algebrák szerkezete. A végesen generált szabad Boole-algebrák elemszáma (NB). A moduláris háló fogalma. Dedekind és Birkhoff tételei a modularitás illetve a disztributivitás tiltott részhálókkal való jellemzéséről (NB). A három elemmel generált szabad moduláris háló rajza. A négy elemmel generált szabad moduláris háló szóproblémája eldönthetetlen (Freese-Herrmann, NB).
8. alkalom. Kongruencia-felcserélhető algebra kongruenciahálója moduláris. Az intervallumok izomorfizmus-tétele. Metszet-irreducibilis elemek, Kuros-Ore tétel. Jordan-Dedekind tétel, a magasságfüggvény és a dimenzió-egyenlet. A csoportelméleti Jordan-Hölder tétel bizonyítása.
A szabad csoport elemeinek megadása. A Nielsen-Schreier tétel (NB).
9. alkalom. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A H normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben H normálosztó. Két részcsoport szorzatának rendje, ez mikor részcsoport (ismétlés tavaly gyakorlatról).
A p-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek (a permutációcsoportos bizonyítással). A p-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy p-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: pq rendű csoport nem lehet egyszerű.
Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. A ciklikus csoportok automorfizmus-csoportja. Nemkommutatív pq rendű csoport konstrukciója alkalmas p és q esetén. A pq rendű csoportok száma (NB).
Két elem kommutátora. A H és K normálosztók kommutátorrészcsoportja mint a megfelelő kommutátorok által generált részcsoport, ez normálosztó, része H és K metszetének, és a legkisebb olyan normálosztó, amely szerinti faktorban a H és a K képének elemei felcserélhetők. A csoport kommutátorrészcsoportja, a legnagyobb Abel-féle homomorf kép. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc főlánc, sőt elemei karakterisztikus részcsoportok.
10. alkalom. Permutációcsoport mint G-set, ekvivalencia, minden tranzitív permutációcsoport ekvivalens egy részcsoport szerinti mellékosztályokon való hatással. Többszörös (szigorú) tranzitivitás, regularitás, egy tranzitív csoport akkor és csak akkor k-szorosan tranzitív, ha a stabilizátorok k-1-szeresen tranzitívak, egy n elemű halmazon ható k-tranzitív csoport rendje osztható n(n-1)...(n-k+1)-gyel. Egy csoport automorfizmuscsoportja mikor hat többszörösen tranzitívan az egységtől különböző elemeken. Az affin csoport, ennek tranzitivitása. A projektív egyenes törtlineáris leképezéseinek példája szigorúan 3-tranzitív csoportra. A Frobenius-csoport fogalma, példák, Frobenius tétele (NB).
G-set kongruenciája. Megfeleltetés tranzitív csoport esetén a kongruenciák és a stabilizátort tartalmazó részcsoportok között. Következmény: a kongruenciaosztályok elemszáma egyenlő. Primitivitás, ennek jellemzése (a stabilizátorok maximális részcsoportok). Prímfokú tranzitív csoport primitív. Minden 2-tranzitív csoport primitív. Primitív csoport nemtriviális normálosztója tranzitív.
Legyen G részcsoportja SX-nek, N tranzitív normálosztó G-ben, H pedig egy X-beli pont G-beli stabilizátora. Ekkor G=NH és CG(N) triviálisan metszi H-t. Ha N reguláris (speciálisan ha N Abel), akkor a H ugyanúgy hat konjugálással N-en, mint X-en. Következmény: ha G sokszorosan tranzitív, akkor ez megszorításokat jelent N-re. Ha N Abel-féle akkor G beágyazható az Aff(N) csoportba. Következmények: feloldható primitív csoportok foka és beágyazhatósága Aff(n,p)-be, az Sp tranzitív feloldható részcsoportjai, An egyszerű ha n legalább 5.
Az An automorfizmuscsoportja Sn, ha n nem 2, 3, 6 (NB). Schreier-sejtés, a majdnem egyszerű csoport fogalma. Burnside tétele 2-tranzitív csoportok minimális normálosztóiról (NB). A Mathieu-csoportok fokai és tranzitivitása (NB).
11. alkalom. (Minden gyűrű egységelemes.) Részmodulusok függetlensége. Féligegyszerű modulus, mint egyszerű modulusok összege, ez néhány összeadandó direkt összege. Féligegyszerű modulus része és faktora is féligegyszerű, és minden részmodulus direkt összeadandó. Ha egy egyszerű gyűrűnek van minimális balideálja, akkor mint önmaga feletti modulus féligegyszerű, és minden egyszerű modulus ezzel a balideállal izomorf. Következmény: teljes mátrixgyűrű felett egyetlen egyszerű modulus van. Végesdimenziós féligegyszerű algebrák algebrailag zárt test felett, egyszerű modulusok, a centrum és dimenziója. A Jacobson-radikál, mint részmodulus csak akkor direkt összeadandó, ha nulla.
A csoportreprezentáció fogalma, foka és karaktere. Ekvivalens reprezentációk. A csoportalgebra, kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk között. Invariáns skaláris szorzat, Maschke tétele: a csoportalgebra féligegyszerű. Az egyszerű modulusok leírása, irreducibilis reprezentációk. A csoportalgebra centruma, osztályfüggvények. Az irreducibilis reprezentációk száma a csoport konjugált elemosztályainak a száma, a fokok négyzetösszege a csoport rendje. Abel-csoport reprezentációi.
12. alkalom. A karaktertábla, elemei algebrai egészek. A reguláris reprezentáció, karaktere, felbontása irreducibilisek összegére. A karakterek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények között. Következmény: ha a karakterek egyenlők, akkor a reprezentációk ekvivalensek.
A második ortogonalitási reláció. Karakter magja és centruma. Irreducibilis karakter foka osztója a csoport rendjének. Burnside tétele: véges nemkommutatív egyszerű csoportban nem lehet prímhatványrendű konjugált elemosztály. Következmény: ha egy csoport rendje legfeljebb két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható.