1. előadás. Cardano képletének ötlete. Példa arra, hogyan kaphatók meg az egyenlet gyökei negatív számok négyzetgyökeivel való formális számolással. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani, nullosztómentesség. A konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. Az összeadás a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. Komplex számok hatványozása. A háromszög-egyenlőtlenség.
2. előadás. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Ha nem minden hatvány különböző, akkor a szám egységgyök, rendje véges, és a hatványok periódikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb pozitív egész, amire a számot emelve 1-et kapunk. Két hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a rend többszöröse. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív n-edik egységgyök fogalma, számuk. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök.
A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, főegyütthatója, foka, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói, nullosztómentesség. Az összeg és a szorzat foka.
3. előadás. A polinomfüggvény fogalma. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés (gyakorlaton), és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A nullosztómentesség miatt a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak.
A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. Következmény: a gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. Lagrange interpoláció. A k-szoros gyök fogalma, itt a k egyértelműen meghatározott.
A binomiális tétel. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. A többhatározatlanú polinom fogalma. A tagok lexikografikus rendezése. Főtagok szorzata a szorzat főtagja. Következmény: nullosztómentesség.
4. előadás. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. A hatványösszegekre vonatkozó Newton-Girard formulák. Többhatározatlanú polinom foka, a szorzatpolinom foka. Homogén polinom, felbontás homogén polinomok összegére.
Polinom formális deriváltja, műveleti tulajdonságok. Összefüggés a polinom és deriváltja gyökeinek multiplicitása között. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani.
5. előadás. Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q felett), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. A kitüntetett közös osztó meghatározása az euklideszi algoritmussal C, R, Q fölött. Az f többszörös gyökei pontosan az (f, f') gyökei.
Az irreducibilis polinomok C felett pontosan az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke (bizonyítás részben gyakorlaton). Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. A racionális együtthatós polinomok számelmélete. Összefüggés racionális gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökök meghatározása. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.
Az első Gauss-Lemma: minden prímszám Z[x]-ben is prímtulajdonságú.
6. előadás. Az egész együtthatós polinomok számelmélete: primitív polinom. A második Gauss-lemma. A Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel bizonyítása. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós.
A kétváltozós művelet általános fogalma. Asszociativitás, kommutativitás, neutrális elem, inverz. Asszociatív művelet esetén a szorzat nem függ a zárójelezéstől (NB). Kommutatív művelet esetén a szorzat nem függ a sorrendtől (NB). Egy műveletnek csak egy kétoldali neutrális eleme lehet (bizonyítás a gyakorlaton). A kétoldali inverz egyértelmű (bizonyítás a gyakorlaton). Elem hatványai, a hatványozás azonosságai (bizonyítás gyakorlaton).
Csoport, Abel-csoport, gyűrű, ferdetest, test, nullosztómentesség, példák. Elemi számolási szabályok (bizonyítás gyakorlaton). Minden ferdetest nullosztómentes. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám (bizonyítás gyakorlaton).
Művelettartó leképezés, egységelem és inverz képe (gyakorlaton). A modulo n maradékképzés, mint gyűrűhomomorfizmus.
Gyűrűelem egész számszorosa, tulajdonságok. Ha minden elem p-szerese nulla egy gyűrűben (p prím), akkor itt tagonként lehet p-edik hatványra emelni. Következmény: a kis Fermat-tétel (gyakorlaton).
7. előadás. Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A többhatározatlanú polinomok rekurzív definíciója, a szimmetrikus polinomok alaptétele érvényben marad nullosztómentes gyűrű fölött. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű felett lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű felett érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű felett igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű felett nem.
A számelmélet alapjai általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis elem, alaptételes gyűrű. A polinomgyűrű egységei.
A maradékos osztás tétele: nullosztómentes gyűrű felett lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Test feletti polinomgyűrű alaptételes. A legnagyobb közös osztó nem függ attól, hogy mi felett vizsgáljuk. A legnagyobb közös osztó leolvasása a kanonikus alakból. A derivált és a többszörös gyök kapcsolata nullosztómentes gyűrű fölött. Az f többszörös gyökei pontosan az (f, f') gyökei.
Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén.
Kommutatív, nullosztómentes gyűrű hányadosteste (NB). Alaptételes gyűrű feletti polinomgyűrű is az. Következmény: Z[x1,...,xn] és T[x1,...,xn] alaptételes, ahol T test.
8. előadás. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen (biz. részben gyakorlaton).
Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata (bizonyítás gyakorlaton). Inverziók, permutáció előjele. Az előjelek szorzástétele. Inverz és transzpozíció előjele (utóbbi gyakorlaton). A páros permutációk száma (gyakorlaton).
A sík vektorai: összeadás és skalárral szorzás. Tn mint a T test feletti n magas oszlopvektorok "tere", összeadás, T-beli skalárral szorzás. A determináns alaptulajdonságai (minden változóban lineáris, és ha két változó egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. Az eltűnés feltétele (bizonyítás később). A transzponált mátrix determinánsa (bizonyítás később). Következmény: az oszlopokra feltett tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa, a determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB).
Az előjeles mérték fogalma, és kiszámítása a síkon. A determináns definíciója.
9. előadás. A determináns alaptulajdonságainak bizonyítása (transzponált, felső háromszögmátrix is).
Geometriai transzformációk mint lineáris leképezések a síkon. Egy vektor képének kiszámítása, ha a két egységvektor képét ismerjük. A leképezés mátrixa, mátrix és oszlopvektor szorzata. Két leképezés kompozíciójának mátrixa, a mátrix-szorzás definíciója. Következmény a (kétszer kettes valós) mátrixok szorzása asszociatív. A sík lineáris transzformációinak összege, és ezek mátrixa.
Általános mátrixok közötti műveletek: összeadás, szorzás, skalárral való szorzás, műveleti tulajdonságok (egyelőre bizonyítás nélkül). A négyzetes mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak. Az inverz mátrix definíciója, és kiszámítása Gauss-eliminációval (NB).
A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele (bizonyítás később). Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla.
10. előadás. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály. A determináns Laplace-féle kifejtése (NB). A Cauchy-Binet formulák (NB).
Lineáris függőség, függetlenség, bázis Tn-en. Az előjeles mérték általános definíciója Tn-en, tulajdonságai. Adott bázisban felírt vektorrendszer mértékének kiszámítása, a determináns általános képletének levezetése. Következmények: a determináns eltűnésének jellemzése, a szorzástétel bizonyítása.
11. előadás. A rezultáns, és felírása determináns alakban. A diszkrimináns. A másodfokú egyenlet elemzése. A Cardano-képlet diszkussziója: hogyan kapjuk meg a három gyököt? Többszörös gyökök és a diszkrimináns. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenlet megoldási módszere (csak vázlat).
A körosztási polinom irreducibilis.