1. hét. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma, és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér, mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. Lineáris kombináció, a generált altér elemeinek jellemzése. Lineáris függés és függetlenség, tulajdonságaik, kapcsolatuk. Végtelen vektorrendszer függetlensége. A bázis fogalma, jellemzése, mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Következmény: véges bázis létezése végesen generált vektortérben.
A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Következmények: független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. A dimenzió fogalma. Valódi altér dimenziója.
2. hét. Alterek összege, mint az unió által generált altér. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése. Alterek összegének dimenziója (bizonyítás gyakorlaton).
A lineáris leképezés, mint vektorterek közötti homomorfizmus; lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. Az algebra fogalma, a lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk algebrát alkotnak.
Vektor koordinátái adott bázisban. Tetszőleges n-dimenziós vektortér izomorf Tn-nel. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek, és a lineáris leképezések műveletei között, ennek vektortér- és algebra-izomorfizmusként való megfogalmazása. Vektor képének koordinátái. A bázistranszformáció képletei (vektor illetve mátrix hogyan transzformálódik).
Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal- illetve jobbinverze, nem bal- illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív).
3. hét. A bijektív transzformációk jellemzése bázisvektorok képével. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A Hom(V,W) dimenziója, a duális tér.
Előjeles mérték tetszőleges vektortéren, alaptulajdonságok. Egy vektorrendszer mértéke mikor nulla. A mértékek vektortere egydimenziós. Lineáris transzformáció determinánsa: hányszorosára növeli a térfogatot. A determináns független a választott mértéktől. A determinánsok szorzástétele. Transzformáció determinánsa megegyezik a mátrixának a determinánsával. A determináns akkor és csak akkor nem nulla, ha a transzformáció invertálható.
Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független rendszerek elemszáma. Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. A rang legfeljebb akkora, mint az értelmezési tartomány dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Mátrix oszloprangja, lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának a rangja. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang, mindez a Gauss-eliminációnál keletkező vezéregyesek száma (bizonyítás csak vázlatosan).
Egy n-dimenziós vektortéren ható transzformáció, illetve n-szer n-es mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja. Ennek gyökei a sajátértékek, így legfeljebb n sajátérték van. A Jordan-alak, egyértelműség (NB).
4. hét. Kettőnél több altér direkt összege, ennek jellemzései. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha n különböző sajátérték van, akkor a transzformáció diagonalizálható.
Az ideál fogalma. Euklideszi gyűrűben minden ideál egy elem többeseiből áll, és ez a generátorelem asszociáltság erejéig egyértelmű. Analógia az elemrend fogalmával.
Egységelemes algebra elemeinek polinomjai. Egy b elem mb minimálpolinomja azon polinomokból álló ideál normált generátoreleme, melyeknek b gyöke. A minimálpolinom egyértelmű, ez a legalacsonyabb fokú polinom, aminek b gyöke, egy polinomnak b akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak.
Véges dimenziós egységelemes algebrában minden elemnek nem nulla a minimálpolinomja, sőt, ennek foka kisebb vagy egyenlő, mint az algebra dimenziója. Következmény: ha V n-dimenziós vektortér, akkor Hom(V) elemeinek illetve az n-szer n-es mátrixoknak a minimálpolinomja legfeljebb n2 fokú. A Cayley-Hamilton tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának (bizonyítás később). Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb n; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek; ha n különböző sajátérték van, akkor a minimálpolinom a karakterisztikus polinom konstansszorosa.
Az invariáns altér fogalma. A minimálpolinom prímhatványok szorzatára való felbontásából a tér invariáns alterek direkt összegére való felbontása adódik. Az ezen alterekre vett megszorítások minimálpolinomjai az eredeti minimálpolinom megfelelő tényezői (HF). Következmény: a transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres.
Minden testnek van olyan bővítése, ahol már minden nem konstans polinomnak van gyöke (bizonyítás jövőre). Bővebb test felett a minimálpolinom ugyanaz.
A Jordan-normálalak hatványozása.
5. hét. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felső háromszögmátrix. Következmény: ha a minimálpolinom lineáris tényezőkre bomlik, akkor a transzformáció mátrixa alkalmas bázisban felső háromszögmátrix. A Cayley-Hamilton tétel bizonyítása.
Bilineáris leképezés, ennek előírhatósága bázispáron. Bilineáris függvény mátrixa. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, valós felett minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. Egy bilineáris függvény akkor és csak akkor diagonalizálható, ha szimmetrikus. Ortogonalitás, a Gram-Schmidt ortogonalizáció. Sylvester tehetetlenségi tétele (bizonyítás a 7. héten). A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok (NB).
Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban.
6-7-8. hét. Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. Merőlegesség, hossz, szög, a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség (a komplex eset bizonyítása gyakorlaton), a háromszög-egyenlőtlenség. Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.
Ha a W altér A-invariáns, akkor az ortogonális kiegészítő altere A*-invariáns. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Az A transzformáció akkor és csak akkor normális, ha A* polinomja A-nak (bizonyítás gyakorlaton). Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Komplex felett minden transzformáció alkalmas ortonormált bázisban felső háromszögmátrix.
Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak.
Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve +1-et vagy -1-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik.
Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható. A sajátértékek extremális tulajdonsága.
A diád fogalma. Minden mátrix felbontható rangnyi számú diád összegére, de kevesebbre nem. Algoritmus a minimális diádfelbontás meghatározására. A diádfelbontás mátrixszorzatra való felbontást eredményez.
A duális bázis és a duális tér, véges dimenzióban ez izomorf az eredeti térrel, de ez az izomorfizmus bázisfüggő. A duális tér duálisa bázisfüggetlen módon izomorf az eredeti térrel, és Hom(T,V) még végtelen dimenzióban is bázisfüggetlen módon izomorf V-vel.
Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának, és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
9. hét. Példák csoportokra, lineáris csoportok. Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Partíció és ekvivalnecia-reláció, kapcsolatuk. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport, ciklikus csoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van csak két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. Egy n rendű ciklikus csoportnak minden d|n esetén egyetlen d rendű részcsoportja van. Következmény: a d rendű elemek száma.
10. hét. A generált részcsoport általános fogalma és létezése. A generált részcsoport elemeinek leírása az általános, illetve a kommutatív esetben. Az Sn-et generálja az (12) és az (12...n) (bizonyítás gyakorlaton).
Permutációcsoport, fok, orbit, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A kocka szimmetriáinak a száma. Csoport hatása halmazon.
Izomorfizmus. Minden ciklikus csoport izomorf a Z+ illetve a Zn+ csoportok valamelyikével. Következmény: ha p prím, akkor p rendű csoportból izomorfia erejéig csak egyféle van. A Klein-csoport, a diédercsoport, a kvaterniócsoport (gyakorlaton). A négyelemű, hatelemű és nyolcelemű csoportok száma (bizonyítás csak részben, a gyakorlaton). Cayley tétele.
Homomorfizmus képe és magja, a normálosztó fogalma. Faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel. Elem rendje a faktorcsoportban.
11. hét. Kettő indexű részcsoport normálosztó. A konjugálás mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugált osztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugált osztályok egyesítése. Centralizátor, a konjugált osztály elemszáma a centralizátor indexe. Centrum, ez normálosztó.
A p-csoport fogalma. Prímhatványrendű csoport centruma nemtriviális. Prímnégyzet rendű csoport kommutatív. Általánosítás: a centrum szerinti faktor nem lehet ciklikus.
Feloldható csoportok, Jordan-Hölder tétele (bizonyítás csak matematikusoknak, jövőre). Minden Abel-csoport, véges p-csoport, illetve páratlan rendű véges csoport feloldható (az utóbbi állítás a Feit-Thompson-tétel, 200 oldalas bizonyítással, NB). Burnside tétele: ha egy véges csoport rendje csak két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható (bizonyítás remélhetőleg jövőre).
Egyszerű csoportok. A kommutatív, prímhatványrendű, illetve a páratlan rendű egyszerű csoportok pontosan a prímrendűek. A legalább ötödfokú alternáló csoport egyszerű (bizonyítás jövőre). Következmény: a szimmetrikus csoport mikor feloldható. Egyenletek megoldhatósága (csak mese). Lineáris csoportok, rendjeik (gyakorlaton), PSL(n,T) egyszerű, kivéve PSL(2,2), PSL(2,3) (NB). Mese a klasszifikációról.
A direkt szorzat fogalma. A direkt szorzat belső jellemzése két tényező esetén.
12. hét. A direkt szorzat belső jellemzése véges sok tényező esetén. Diszkrét direkt szorzat. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás csak jövőre).
A Sylow-tételek (bizonyítás csak jövőre). Következmény: Cauchy tétele, véges p-csoport az, amiben minden elem p-hatványrendű.
A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfimzus-tételek.
A szabad csoport fogalma és megadása (bizonyítás csak jövőre). Definiáló relációk, Dyck tétele (bizonyítás csak jövőre).
13. hét. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel, és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes.
A hányadostest konstrukciója és egyértelműsége. Nullosztómentes gyűrű karakterisztikája, ennek tulajdonságai.