1. alkalom. A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Minimálpolinom, algebrai és transzcendens elemek. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete, ha a generáló elem transzcendens. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele. Következmények: elem foka osztója a bővítés fokának, összeg és szorzat fokának becslése. Minden véges bővítés algebrai. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste.
2. alkalom. Algebrailag zárt bővítés létezése (bizonyítás jövőre). A felbontási test fogalma. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Minden véges test tökéletes (bizonyítás később). Tökéletes test véges bővítése egyszerű.
3. alkalom. Izomorfizmusok kiterjesztése (bizonyítás részben később). Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma. A Galois-elmélet főtétele. Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei. Konjugált résztestek és konjugált részcsoportok kapcsolata, normális közbülső test Galois-csoportja mint faktorcsoport.
4. alkalom. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű. Az izomorfizmus-kiterjesztési tétel bizonyítása. Következmény: a felbontási test egyértelmű. Egyszerű testbővítés konstrukciója. Az algebrai lezárt létezése. Az algebrai lezárt egyértelműsége (NB). Az algebrai számok teste algebrailag zárt.
5. alkalom. Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka.
6-7. alkalom. Geometriai szerkeszthetőség. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.
Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Az xp-a polinom felbontási teste; ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor ez a bővítés első vagy p-edfokú. Megfordítás: ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor minden p fokú bővítés így kapható; Lagrange-rezolvens. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. Minden egységgyök gyökkifejezés. Az x5-4x+2 polinom Galois-csoportja S5, és így nem oldható meg gyökjelekkel. Az általános n-edfokú egyenlet Galois-csoportja Sn (NB). Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.
Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
8. alkalom. A jobb és baloldali annullátor fogalma gyűrűben. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
A (kommutatív, egységelemes) Noether-gyűrű fogalma. Hilbert "bázis" tétele: Noether-gyűrű feletti polinomgyűrű is Noether-féle. A prímideál és a primérideál fogalma, ideál radikálja, primér ideál radikálja prímideál. Ideálok felbontása Noether-gyűrűben metszet-irreducibilisek metszetére; itt minden metszet-irreducibilis ideál primér. Következmény: Noether-Lasker tétele. Az egyértelműség kérdése (NB).
9. alkalom. Rendezett integritási tartomány, az elrendezhetőség feltétele (NB), formálisan valós test. A valósan zárt testek jellemzései (NB). Frobenius tétele valósan zárt test feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrákról (NB), a kvaterniótest.
A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Homomorfizmus, faktormodulus. Részmodulus, a generált részmodulus elemeinek képlete, ciklikus modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
10. alkalom. A bázis fogalma, és kapcsolata a ciklikus részmodulusok direkt összegére való felbonthatósággal. Erős értelemben vett bázis és szabad generátorrendszer. Ha a modulusban megadunk egy bázist, akkor egy részmodulus egy generátorrendszere egy mátrixszal adható meg. A mátrix elemi átalakításainak kapcsolata a bázis illetve a generátorrendszer megváltoztatásával. Euklideszi gyűrű felett minden mátrix elemi átalakításokkal normálalakra hozható.
Következmény: euklideszi gyűrű feletti végesen generált modulus ciklikusok direkt összege, és minden részmodulusa is végesen generált. A rend fogalma, kapcsolat a fellépő ciklikus modulusok generátorelemeinek rendjei, és a mátrix normálalakjának főátlójában szereplő elemek között.
11. alkalom. Ciklikus modulus felbontása prímhatványrendű ciklikusakra. A felbontás egyértelműségének kérdése. Torzió-részmodulus, a szerinte vett faktor torziómentes. A nulla rendű elemek által generált ciklikus tényezők száma egyértelmű. Az M[p] részmodulus, ez vektortér az R/(p) test felett, dimenziója a p-hatványrendű tényezők száma. Az M[p] szerinti faktor felbontásában szereplő tényezők rendjei, az egyértelműség bizonyítása.
A Jordan-normálalakról szóló tétel bizonyítása modulusok segítségével. A karakterisztikus mátrix szerepe, normálalakjában az utolsó elem a minimálpolinom. Következmény: a Cayley-Hamilton tétel. A blokkok méreteinek leolvasása a normálalakról, determinánsosztók (gyakorlaton).
12-13. alkalom. Egész elemek egységelemes integritási tartomány fölött. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Az egészek jellemzése véges modulusbővítésekkel, az egészek gyűrűt alkotnak.
Ha egy test véges sok elemmel vett gyűrűbővítése is test, akkor a bővítő elemek mindegyike algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljainak a leírása. Galois-kapcsolat többváltozós polinomok és gyökeik között, zárt halmazok a polinomgyűrűben, Hilbert nullhelytétele.
A Dedekind-gyűrű fogalma. A racionális test véges bővítéseiben az algebrai egészek Dedekind-gyűrűt alkotnak (NB).