Matematikus gyakorlat, második évfolyam első félév Második zárthelyi (2002. dec. 19)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Számítsuk ki az alábbi M mátrixhoz tartozó karakterisztikus mátrix normálalakját, és adjuk meg M Jordan-alakját.

M = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

2. Létezik-e olyan A lineáris transzformáció a térben, hogy a hozzá tartozó ℝ[x]-modulusban van x^{2} + 1 rendű és x^{2} + 2 rendű elem is?

3. Mely a, b ∈ ℚ számokra lesz α = a + b\sqrt[3]{2} algebrai egész?

4. Határozzuk meg i összes négyzetgyökét a kvaterniók között.

5. Legyen T test, és tegyük T^{n}-et egy M modulussá a T fölötti n×n-es felső háromszögmátrixok R gyűrűje fölött a mátrix-vektor szorzásra. Legyen e_{1}, …, e_{k} a T^{k} szokásos bázisa. Izomorf-e ⟨e_{1}⟩ és M/⟨e_{1}, …, e_{n−1}⟩? (Itt a szöges zárójel generált részmodulust jelöl.)

6. Legyen I = ((x^{2} + y^{2} − 1)^{2}, (x − 1)^{3}) a ℂ[x, y] gyűrű ideálja. Adjuk meg az I radikálját, és bontsuk fel I-t primér ideálok metszetére.