Matematikus gyakorlat, második évfolyam első félév Első zárthelyi (2002. okt. 31)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Invertálható-e ℤ_{3}[x]/(2x^{2} + 1)-ben az x^{3} + 2 polinomot tartalmazó maradékosztály?

2. Adott a síkon egy 20^{∘}-os szög. Szerkeszthető-e ennek felhasználásával 1^{∘}-os szög?

3. Számítsuk ki \sqrt{3} + i\sqrt[5]{5} fokát ℚ(\sqrt{3}) fölött.

4. Adjuk meg az x^{3} − i\sqrt{3} polinom felbontási testének fokát ℚ(i\sqrt{3}) felett, valamint a bővítés Galois-csoportját.

5. A ℚ ≤ L normális bővítés Galois-csoportja A_{4}. Következik-e ebből, hogy L egy alkalmas negyedfokú polinom felbontási teste ℚ fölött?

6. Hány irreducibilis polinom szorzatára bontható az x^{30} − 1 polinom a kilencelemű test fölött?