Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Kilencedik alkalom (2002. december 3–∞)

1. Racionális szám-e \sqrt[127]{2} + \sqrt[298]{3 + \sqrt{5}}?

2. Bizonyítsuk be, hogy az α ∈ ℂ szám akkor és csak akkor algebrai egész, ha ℚ feletti (normált) minimálpolinomja egész együtthatós.

3. Határozzuk meg az ℚ[\sqrt{7}] illetve a ℚ[\sqrt{5}] gyűrűk algebrai egész elemeit.

4. Van-e olyan 1 abszolút értékű komplex szám, ami nem egységgyök, de algebrai egész?

5. Mely fokokban mérve racionális α szögekre lesz cos α racionális szám?

6^{∗}. Legyen az f(x) polinom minden együtthatója algebrai egész.

a) Igaz-e, hogy ha f normált, akkor minden gyöke algebrai egész?

b) Igazoljuk, hogy ha f tetszőleges számú gyökének szorzatát megszorozzuk f főegyütthatójával, akkor algebrai egészet kapunk.

7^{∗}. Legyen M egy n×n-es komplex elemű mátrix, aminek valamelyik hatványa az egységmátrix. Mutassuk meg, hogy ha M nyoma egy algebrai egész n-szerese, akkor ez a nyom vagy nulla, vagy M skalármátrix.

8^{∗}. Igaz-e, hogy ℤ[x_{1}, …, x_{n}] minden maximális ideálja véges indexű, és alkalmas p prímre és m > 0 egészre tartalmazza a (p, x_{1}^{p^{m}} − x_{1}, …, x_{n}^{p^{m}} − x_{n}) ideált?

9. Legyen R egységelemes gyűrű, és I minimális ideálja R-nek. Bizonyítsuk be, hogy I egyszerű gyűrű, vagy zérógyűrű.

10. Legyenek M_{1}, …, M_{k} maximális ideálok egy egységelemes, nem feltétlenül kommutatív R gyűrűben. Bizonyítsuk be, hogy R/(M_{1} ∩ ⋯ ∩ M_{k}) izomorf az R/M_{i} gyűrűk közül néhánynak a direkt szorzatával. Keressük meg az állítás csoportelméleti analogonját.

11. Igazoljuk, hogy ha egy gyűrűben 1 − ab invertálható, akkor 1 − ba is.

Jacobson-radikálról csak egységelemes gyűrűk esetében beszélünk, az alábbi gyűrűk egységelemesek!

12. Határozzuk meg az alábbi gyűrűk radikálját: egy főideálgyűrű egy faktorgyűrűje; a páratlan nevezőjű törtek; a 2-hatvány nevezőjű törtek; a komplex felső háromszögmátrixok.

13. Legyen J maximális balideálja az R gyűrűnek, és I az R/J faktormodulus annullátora. a) Igazoljuk, hogy I a legnagyobb olyan ideálja R-nek, mely része J-nek.

b) Legyen 0 ≠ u ∈ R/J. Mutassuk meg, hogy u annullátora maximális balideál.

c) Mutassuk meg, hogy I előáll az R alkalmas, maximális balideáljainak metszeteként.

d) Vezessük le ebből, hogy R radikálja a maximális balideálok metszete.

14. Mutassuk meg, hogy a radikálban csak a nulla lehet idempotens elem.

15. Igazoljuk, hogy ha x eleme a radikálnak, akkor 1−x-nek van jobbinverze is. Mutassuk meg, hogy a radikál nem függ attól, hogy bal- vagy jobboldali modulusokkal definiáljuk, és hogy féligegyszerű gyűrű esetén a bal- és jobboldali Artin-tulajdonság is ekvivalens.

16. Igazoljuk, hogy minden véges gyűrű kommutatív, melyben igaz az x^{n} = x azonosság.