Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hetedik alkalom (2002. november 12–14)

Ha M egy R-modulus, és X ⊆ M, akkor ann(X) = {r ∈ R | rX ⊆ {0}} az X annullátora. Az M modulus hű, ha ann(M) = {0}. Az {m} annullátorát (és ha R főideálgyűrű, akkor ennek az ideálnak a generátorelemét is) az m ∈ M elem rendjének nevezzük, jele o(m).

1. Modulusok, illetve unitér modulusok-e az alábbi struktúrák? Határozzuk meg a részmodulusokat, és a rendeket is, valamint, hogy mikor hű a kapott modulus.

a) Egy A Abel-csoport ℤ felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

b) Egy m exponensű A Abel-csoport ℤ_{m} felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

c) Ha T test, akkor T^{n} a T^{n×n} felett a mátrix-vektor szorzásra.

d) Ha V vektortér a T test felett, és A ∈ Hom(V), akkor V a T [x] felett a p ∘ v = p(A)v szorzásra. Hogyan kapcsolódik a rend fogalma a tavaly tanult m_{A,v} polinomokhoz?

e) Ha S részgyűrűje R-nek, akkor R az S felett, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás).

f) Ha S balideálja R-nek, akkor S az R felett, ahol az összeadás az S-beli összeadás, és r ∘ s = rs (R-beli szorzás).

2. Mutassuk meg, hogy ann(X) balideál, és ha X részmodulus, akkor kétoldali ideál. Vezessük le ebből, hogy balideál baloldali annullátora kétoldali ideál.

3. Igazoljuk, hogy ha M egy R-modulus, akkor M hű modulussá tehető R/ann(M) fölött.

4. Legyen A Abel-csoport, és R az A endomorfizmusainak gyűrűje a pontonkénti összeadásra és a kompozícióra. Mutassuk meg, hogy a φ∘a = φ(a) az A-t baloldali R-modulussá teszi. Igazoljuk azt is, hogy az A akkor és csak akkor tehető hű modulussá egy S gyűrű fölött, ha S izomorf az R egy részgyűrűjével.

5. Tegyük ℝ additív csoportját modulussá ℝ[x] felett kétféleképpen. Az első modulus szorzása p(x) ∘ r = p(1)r, a másodiké p(x) ∘ r = p(2)r. Izomorf modulusokat kaptunk-e?

6. Legyen R egységelemes gyűrű és M baloldali unitér R-modulus, mely egy elemmel generálható (azaz ciklikus). Igazoljuk, hogy M izomorf az _{R}R modulusnak egy J részmodulusa (azaz balideálja) szerinti faktormodulusával, és adjunk meg egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést M faktormodulusai, és R-nek a J-t tartalmazó balideáljai között.

7. Az 1/d feladatban szereplő modulus milyen A esetén ciklikus, ha a V kétdimenziós?

8. Általánosítsuk a hatvány rendjének képletét főidálgyűrű feletti modulusokra.

9. Igazoljuk, hogy ha R főideálgyűrű, és M egy R-modulus, akkor azok az M-beli elemek, melyek rendje nem nulla, egy részmodulust alkotnak (ez az M torzió-részmodulusa). Igaz-e, hogy az eszerint vett faktormodulus torziómentes (azaz minden elem rendje nulla)?

10. Igaz-e főideálgyűrű fölött, hogy ciklikus modulus része is ciklikus? Két ciklikus modulus direkt szorzata mikor lesz ciklikus?

11. Bázist alkot-e a ℤ_{2} × ℤ_{4} csoportban {(1, 2), (1, 1)}?

Fordíts!

12. Igaz-e, hogy egy erős értelemben vett bázis mindig szabad generátorrendszer? (Az „erős értelemben” azt jelenti, hogy ∑ r_{i}b_{i} = 0 ⟹ r_{i} = 0, és nem csak r_{i}b_{i} = 0).

13. Mutassuk meg, hogy az alábbi megfeleltetés gyűrű-izomorfizmus (sőt ℝ feletti algebraizomorfizmus) a kvaterniótest, és a ℂ^{2×2} mátrixgyűrű egy részgyűrűje között. Igazoljuk ennek felhasználásával, hogy a kvaterniók tényleg gyűrűt alkotnak.

a + bi + cj + dk ⟷ ( \begin{matrix}a + bi & c + di \\ −c + di & a − bi \end{matrix} ) (a, b, c, d ∈ ℝ).

14. Legyen α = a + bi + cj + dk kvaternió (a, b, c, d ∈ ℝ), és \overline{α} = a − bi − cj − dk az α konjugáltja. Számítsuk ki az α^{2} és az α · \overline{α} szorzatokat.

15. Határozzuk meg az i + j + k kvaternió inverzét, az i + j kvaternió minimálpolinomját, majd adjuk meg az x^{2} − 1 és az x^{2} + 1 polinomok összes gyökeit a kvaterniótestben.

16. Mutassuk meg, hogy a Frobenius-tétel feltételei mind szükségesek, sőt adjunk meg olyan példákat, amelyek azt mutatják, hogy

a) ℝ felett van olyan végtelen dimenziós, nullosztómentes algebra, ami nem test;

b) ℝ felett van olyan végtelen dimenziós, nullosztómentes algebra, ami test, de nem a tételben felsorolt algebrák valamelyike;

c) ℝ felett van véges dimenziós, nem nullosztómentes algebra (ami tehát nem test);

d) alkalmas test felett van akárhány, de véges dimenziós nullosztómentes algebra.

17. Bizonyítsuk be, hogy a lineáris függésre, függetlenségre és dimenzióra vonatkozó tételek érvényben maradnak ferdetest fölött is.

18. Legyen D ferdetest. Mutassuk meg, hogy a D^{n×n} centruma a dE skalármátrixokból áll, ahol d ∈ Z(D) és E az egységmátrix.

19. Legyen E ⊆ X × Y páros gráf, A ⊆ X esetén A^{♯} azon y ∈ Y elemek halmaza, melyek A minden elemével össze vannak kötve, és definiáljuk B ⊆ Y esetén a B^{♭} ⊆ X halmazt analóg módon. Az A illetve B lezártja A^{♯♭} illetve B^{♭♯}. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ X ⟹ A_{1}^{♯} ⊇ A_{2}^{♯} és B_{1} ⊆ B_{2} ⊆ Y ⟹ B_{1}^{♭} ⊇ B_{2}^{♭}.

b) A^{♯♭♯} = A^{♯} és B^{♭♯♭} = B^{♭}, speciálisan A^{♯♭} és B^{♭♯} már zártak.

c) Az X illetve az Y zárt részhalmazai egymással kölcsönösen egyértelmű, rendezésfordító megfeleltetésben állnak. (Az ilyen megfeleltetést Galois-kapcsolatnak nevezzük.)

20. Legyen V véges dimenziós vektortér egy ferdetest fölött, és R = Hom(V). Húzzunk élt v ∈ V és A ∈ R között pontosan akkor, ha Av = 0. Bizonyítsuk be, hogy a kapott Galois-kapcsolatban a zárt halmazok pontosan az alterek, illetve a balideálok.

21. Legyen T ferdetest, V = T^{n} (mint baloldali vektortér T fölött), és R = T^{n×n} a teljes mátrixgyűrű. Bizonyítsuk be, hogy R balideáljai és V alterei között kölcsönösen egyértelmű, rendezéstartó megfeleltetés a következő: egy altérhez azoknak a mátrixoknak a halmaza tartozik, amelyek minden sora az adott altérnek eleme. Mutassuk meg az analóg állítást jobbideálokra/oszlopokra.

22. Legyen R egységelemes gyűrű. Mutassuk meg, hogy az R^{n×n} teljes mátrixgyűrű ideáljai pontosan az I^{n×n} gyűrűk, ahol I ideálja R-nek. Speciálisan ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű gyűrű.