Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hatodik alkalom (2002. november 5–7)

1. Igaz-e, hogy a ℤ[x_{1}, …, x_{n}] az x_{1}, …, x_{n} által generált szabad kommutatív gyűrű?

2. Igazoljuk, hogy ha R gyűrű, akkor az (r, n)(s, m) = (rs + rm + sn, nm) szorzásra nézve az R^{+} × ℤ^{+} csoport egységelemes gyűrű, mely tartalmaz R-rel izomorf részgyűrűt.

3. Legyen R gyűrű. Igazoljuk, hogy R egy részhalmaza akkor és csak akkor ideál, ha alkalmas gyűrűhomomorfizmus magja. Bizonyítsuk be a homomorfizmus-tétel, illetve a két izomorfizmus-tétel gyűrűelméleti változatát. Definiáljuk gyűrűk direkt szorzatát a csoportokéval analóg módon, és mutassuk meg, hogy a direkt szorzat csoportokra adott belső jellemzése gyűrűkre is érvényben marad, ha normálosztó helyett ideált írunk.

4. Igazoljuk, hogy ha R kommutatív, egységelemes gyűrű, akkor a) (a_{1}, …, a_{n})(b_{1}, …, b_{m}) = (…, a_{i}b_{j}, …);

b) a P ideál akkor és csak akkor prímideál, ha tetszőleges A és B ideálokra AB ⊆ P akkor és csak akkor teljesül, ha A ⊆ P vagy B ⊆ P;

c) tetszőleges ideál radikálja is ideál;

d) ha R főideálgyűrű, akkor P pontosan akkor prímideál, ha a generátora prím, és pontosan akkor primér, ha a generátora egy prímhatvány.

5. Mutassuk meg, hogy a ℂ[x, y] gyűrű I = (x^{2}, xy) ideálja nem primér, de tetszőleges p és q polinomokra igaz, hogy ha pq ∈ I, akkor p és q valamelyike belehatványozható I-be, és hogy az I radikálja prímideál. Melyik ideál ez a radikál?

6. Igazoljuk, hogy a ℂ[x, y] gyűrű (x^{2}, y) ideálja primér, de nem hatványa a radikáljának.

7. Mutassuk meg, hogy a ℂ[x, y, z] gyűrű (xy, z) ideálja nem állítható elő primér ideálok szorzataként. Állítsuk elő primér ideálok metszeteként.

8. Állítsuk elő a ℂ[x, y] gyűrű alábbi ideáljait primér ideálok metszeteként, és a felbontás tényezőinek adjuk meg a radikálját is: (xy), (xy^{2}), (x^{2}, xy), (x^{2} + y^{2}), (x^{2}, y^{2}), (x^{2}, y^{3}), (x^{2}, xy, y^{2}), (x^{2}, xy^{2}, y^{3}), (x^{3}, x^{2}y^{2}, xy^{3}).

9. Legyen R egységelemes, kommutatív Noether-gyűrű. Igazoljuk az alábbi állításokat. a) Minden primér ideál tartalmazza a radikáljának egy hatványát.

b) Ha Q_{i} véges sok primér ideál, melyek mindegyikének a radikálja ugyanaz a P prímideál, akkor a Q_{i} ideálok metszete is primér, és a metszet radikálja szintén P.

c) Ha Q_{i} véges sok primér ideál, melyek radikáljai páronként különbözők, akkor a Q_{i} ideálok metszete, ha rövidíthetetlen, akkor nem primér.

10. Igazoljuk, hogy ha R kommutatív egységelemes gyűrű, és R[x] Noether, akkor R is.

11^{∗}. Legyen R egységelemes integritási tartomány. Igazoljuk az alábbi állításokat. a) R[x] akkor és csak akkor főideálgyűrű, ha R test.

b) Ha R alaptételes, és minden nem nulla ideálja véges indexű, akkor R főideálgyűrű.

12^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy kommutatív, egységelemes gyűrű pontosan akkor Noether, ha minden prímideálja végesen generált, és pontosan akkor főideálgyűrű, ha minden prímideálja főideál.