Mat-alkmat gyakorlat, második évfolyam, első félév Harmadik alkalom (2002. október 1–3)

1. Az alábbiak végrehajtásával határozzuk meg a ℚ(\sqrt[4]{2}) test összes résztestét. a) Normális-e a ℚ ≤ ℚ(\sqrt[4]{2}) bővítés?

b) Normális-e a ℚ ≤ ℚ(i, \sqrt[4]{2}) bővítés?

c) Legyen G a b)-beli bővítés Galois-csoportja, és φ ∈ G. Mi lehet φ(i) és φ(\sqrt[4]{2})?

d) Mutassuk meg, hogy ha φ, ψ ∈ G, φ(i) = ψ(i), és φ(\sqrt[4]{2}) = ψ(\sqrt[4]{2}), akkor φ = ψ.

e) Az előző két pont alapján igazoljuk, hogy G elemszáma legfeljebb 8.

f) A főtétel alapján mennyi G elemszáma?

g) Legyen α_{1} = \sqrt[4]{2}, α_{2} = iα_{1}, α_{3} = −α_{1}, α_{4} = −iα_{1}. Igazoljuk, hogy ha φ és ψ megegyezik az α_{1} és α_{2} helyeken, akkor φ = ψ.

h) Mi az összefüggés φ(α_{1}) és φ(α_{3}) között?

i) Mutassuk meg, hogy ha az α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4} számokat ebben a sorrendben egy négyzet csúcsaira írjuk, akkor G minden eleme a négyzetnek szimmetriája lesz, és így G ≅ D_{4}.

j) Legyen φ ∈ G az (13) permutációnak megfelelő eleme G-nek. Írjuk fel ℚ(i, \sqrt[4]{2}) egy bázisát ℚ felett, egy általános elem képét φ-nél, és φ fixpontjainak halmazát.

k) Legyen H = {id, (24)}. Mely testek felelnek meg a H-t tartalmazó részcsoportoknak?

l) Igazoljuk, hogy ℚ(\sqrt[4]{2}) minden részteste tartalmazza ℚ-t.

2. A II/15. feladat bővítéseinél mik a Galois-csoportok és a közbülső testek?

3. Legyenek p_{1}, …, p_{k} páronként különböző pozitív prímszámok. Határozzuk meg a ℚ(\sqrt{p}_{1}, …, \sqrt{p}_{n}) Galois-csoportját ℚ felett.

4^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L ≤ ℂ, és K/L negyedfokú, akkor ennek a bővítésnek kettő, három, vagy öt közbülső teste lehet.

5^{∗}. Adjuk meg ℚ-nak egy harmadfokú, normális bővítését.

∞^{∗∗∗∗∗∗∗∗}. Igaz-e, hogy minden véges G csoporthoz van ℚ-nak olyan normális bővítése, melynek Galois-csoportja G-vel izomorf? (Ez híres megoldatlan probléma, az állítást Safarevics belátta akkor, ha G feloldható).

6. Készítsük el az alábbi gyűrűk műveleti tábláit, majd osztályozzuk őket izomorfia szerint. ℤ_{8}/{0, 4}, ℤ_{16}/{0, 4, 8, 12}, 2ℤ/(8), 2ℤ_{16}/(8), ℤ/(4), 4ℤ/(16), ℤ[x]/(4, x) . (Ha n egész, akkor nR az R gyűrű {nr | r ∈ R} részgyűrűjét jelöli.)

7. Tekintsük azt az ℝ[x]/(x^{2} + 1) ≅ ℂ izomorfizmust, amelyet úgy kapunk, hogy a homomorfizmus-tételt alkalmazzuk az f ↦ f(i) homomorfizmusra. Mi az x + 1, x^{2}, ax + b polinomok maradékosztályainak a képe?

8. Igazak-e az alábbi gyűrű-izomorfizmusok? ℝ[x]/(x^{2} +2) ≅ ℂ; ℝ[x]/(x^{2} −1) ≅ ℂ illetve ℝ × ℝ; 𝔾/(5) ≅ ℤ_{5} × ℤ_{5}; 𝔾/(3) és a kilenc elemű test. (Itt 𝔾 a Gauss-egészek gyűrűje.)

9. A ℚ[x]/(x^{2} + x + 1) gyűrűben mi az x + (x^{2} + x + 1) inverze?

10. Legyen L = ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1). Határozzuk meg az L elemszámát, írjuk fel a műveleti tábláit, igazoljuk, hogy testet kaptunk, keressünk benne ℤ_{2}-vel izomorf {E, O} résztestet, és adjuk meg L-ben az Ex^{2} + Ex + E polinom gyökeit. Oldjuk meg az analóg feladatot x^{3} + x + 1-re is. Keressünk ezzel a módszerrel kilenc elemű testet.