Mat-alkmat gyakorlat, második évfolyam, első félév Első alkalom (2002. szeptember 17–19)

Tegyük fel, hogy K részteste L-nek, és α ∈ L. Keressük meg azokat a K[x]-beli polinomokat, melyeknek α gyöke. Ha ilyen nincs más, csak a nullapolinom, akkor α transzcendens K fölött. Egyébként, azaz ha α algebrai K fölött, akkor egyértelműen létezik egy olyan normált m_{α} ∈ K[x] polinom, hogy a keresett polinomok éppen az m_{α} többszörösei. Az m_{α} neve az α minimálpolinomja. A minimálpolinomot úgy lehet megtalálni, hogy olyan normált, K fölött irreducibilis polinomot keresünk, melynek α gyöke. Ismétlés: az első félévben tanult módszerek az irreducibilitás eldöntésére:

– Egy másod- vagy harmadfokú polinom akkor és csak akkor irreducibilis egy K test fölött, ha K-ban nincs gyöke (speciálisan ℚ felett használhatjuk a racionális gyöktesztet).

– A Schönemann-Eisenstein kritérium (ℚ feletti irreducibilitás egész együtthatósra).

– Ha f ∈ ℤ[x], akkor vizsgáljuk modulo p, ahol p prímszám.

– f akkor és csak akkor irreducibilis egy K test felett, ha egy eltoltja (f(x+c), c ∈ K) az.

– Bontsuk fel a polinomot egy bővebb testben, és használjuk a felbontás egyértelműségét.

1. Írjuk fel az 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} szám reciprokát a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban, ahol a, b, c ∈ ℚ.

2. Legyen θ az x^{3} +3x+1 polinom (egyetlen) valós gyöke. Írjuk fel a θ^{5} +2θ^{3} és a θ/(θ−3) számokat a + bθ + cθ^{2} alakban, ahol a, b, c ∈ ℚ. Mi a θ minimálpolinomja ℚ fölött?

3. Határozzuk meg az alábbi számok minimálpolinomját a racionális test felett: π, 1 + i, \sqrt{2} + i, \sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, 1 + \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2 + \sqrt{2}}, \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}, cos 20^{∘}, egy primitív n-edik egységgyök, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6, illetve tetszőleges prímszám.

4. Legyen K részteste L-nek, és tekintsük L-et algebrának K fölött. Mutassuk meg, hogy a minimálpolinom fent definiált fogalma egybeesik a múlt félévben tanultakkal.

5. Legyen A nullosztómentes algebra a K test fölött, b ∈ A és f ∈ K[x] normált polinom, melynek b gyöke. Igazoljuk, hogy f = m_{b} akkor és csak akkor, ha f irreducibilis K fölött.

6. Konstruáljunk egy L négyelemű testet a műveleti táblák felírásával. Írjuk fel az összes elem minimálpolinomját a kételemű résztest fölött.

Legyen K részteste az L testnek, és α_{1}, …, α_{n} ∈ L. Ekkor K(α_{1}, …, α_{n}) az L legszűkebb olyan részteste, amely K-t és az α_{1}, …, α_{n} elemeket tartalmazza, azaz a K és α_{1}, …, α_{n} által generált résztest. Ennek a definíciónak az alapján részletesen belátjuk, hogy ha α, β ∈ L, akkor K(α)(β) = K(α, β). Megmutatjuk, hogy mindkét oldal tartalmazza a másikat. A K(α)(β) tartalmazza a β elemet, és a K(α) testet. A K(α) test tartalmazza az α elemet, és a K testet. Ezért K(α)(β) tartalmazza K-t is, és az α, β elemeket is. Mivel K(α, β) a legszűkebb az ilyen tulajdonságú testek közül, azért K(α, β) ⊆ K(α)(β). A másik tartalmazás belátásához vizsgáljuk a K(α, β) testet. Ez tartalmazza az α elemet, és a K testet, és mivel K(α) a legszűkebb ilyen test, K(α) ⊆ K(α, β). De K(α, β) tartalmazza a β elemet is, és így a legszűkebb olyan testet is, ami a β elemet és a K(α) testet tartalmazza, ami definíció szerint K(α)(β).

7. Melyek igazak az alábbiak közül: ℚ(\sqrt{6}) ⊆ ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{2} + 1), ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) = ℚ(\sqrt[6]{2}), ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{3}), \sqrt{2} ∈ ℚ(\sqrt{3}), K(α, β) = K(α, αβ), ahol α ≠ 0.