1. alkalom. Egyszerű testbővítés konstrukciója faktorgyűrűként. A felbontási test és az algebrai lezárt létezése. Az algebrai lezárt egyértelműsége (NB). Prímtest, szerkezete.
Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
2. alkalom. Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Az xp-a polinom felbontási teste; ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor ez a bővítés első vagy p-edfokú. Megfordítás: ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor minden p fokú bővítés így kapható; Lagrange-rezolvens. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. Minden egységgyök gyökkifejezés. Az x5-4x+2 polinom Galois-csoportja S5, és így nem oldható meg gyökjelekkel. Az általános n-edfokú egyenlet Galois-csoportja Sn. Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.
3. alkalom. Geometriai szerkeszthetőség. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.
Modulusok bővítésének fogalma, bővítések ekvivalenciája. Diagramm kommutativitása, egzakt, félig egzakt és rövid egzakt sorozat. Abel csoportok bővítésének faktorrendszere. A direkt szorzathoz, mint triviális bővítéshez tartozó faktorrendszerek leírása, transzformációrendszer. Ekvivalens bővítések jellemzése (NB), az Ext csoport. A Hom értelmezése modulusokon és leképezéseken. Hosszú egzakt sorozat létezése Abel-csoportok esetén (Cartan-Eilenberg, NB). Következmény: Ext(Zn, A) izomorf A/nA-val.
4. alkalom. A projektív és injektív modulus fogalma, kapcsolatuk a Hom egzaktságával és a megfelelő bővítések szétesésével. A projektívek pontosan a szabadok direkt összeadandói. Minden modulus beágyazható injektívbe (NB). Projektív és injektív (NB) modulusok főideálgyűrű felett, az osztható Abel-csoportok struktúratétele (NB).
A kategória fogalma, kovariáns és kontravariáns funktorok. A direkt szorzat kategóriaelméleti jellemzése. A Hom mint bifunktor.
Kommutatív gyűrű feletti modulusok bihomomorfizmusa és tenzorszorzata, ennek univerzális tulajdonsága. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus. Homomorfizmusok tenzorszorzata, a tenzorszorzat mindkét változójában kovariáns bifunktor.
5. alkalom. A tenzorszorzat alaptulajdonságai (asszociativitás, kommutativitás, direkt összegek tenzorszorzata). Következmény: vektorterek tenzorszorzatának dimenziója és bázisa, kapcsolat a diádfelbontással, mátrixok tenzorszorzata. A Hom funktor és a tenzorszorzat kapcsolata (NB).
A jobb és baloldali annullátor fogalma gyűrűben. A balideálmentes gyűrűk szerekezte. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
A (kommutatív, egységelemes) Noether-gyűrű fogalma. Hilbert tétele: Noether-gyűrű feletti polinomgyűrű is Noether-féle. A prímideál és a primérideál fogalma, ideál radikálja, primér ideál radikálja prímideál. Ideálok felbontása Noether-gyűrűben metszet-irreducibilisek metszetére; itt minden metszet-irreducibilis ideál primér. Következmény: Noether-Lasker tétele. Az egyértelműség kérdése (NB).
6. alkalom. Egész elemek egységelemes integritási tartomány fölött. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Az egészek jellemzése véges modulusbővítésekkel, az egészek gyűrűt alkotnak.
Ha egy test véges sok elemmel vett gyűrűbővítése is test, akkor a bővítő elemek mindegyike algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljainak a leírása. Galois-kapcsolat többváltozós polinomok és gyökeik között, zárt halmazok a polinomgyűrűben, Hilbert nullhelytétele.
A Dedekind-gyűrű fogalma. A racionális test véges bővítéseiben az algebrai egészek Dedekind-gyűrűt alkotnak (NB).
7. alkalom. A Schur-Lemma. Jacobson sűrűségi tétele. Egységelemes gyűrű Jacobson-radikálja, mint az egyszerű R-modulusok annullátorainak metszete. A Jacobson-radikál az R maximális balideáljainak metszete, és azon x elemek halmaza, melyekre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Következmény: a radikál minden nilpotens balideált tartalmaz. Az 1-xr jobbinvertálható is, a radikál független attól, hogy balról vagy jobbról definiáljuk.
Artin-gyűrű radikálja nilpotens, és így a gyűrű legnagyobb nilpotens (bal)ideálja. Wedderburn-Artin-tétel: Artin-gyűrű radikál szerinti faktora véges sok, ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű direkt szorzata. A féligegyszerű Artin gyűrűk jellemzései modulusokkal: minden modulus projektív/injektív, minden részmodulus direkt összeadandó, illetve minden modulus teljesen reducibilis. Az irreducibilis modulusok száma. A radikál és a Wedderburn-Artin tétel kiterjesztése test feletti algebrákra.
Rendezett integritási tartomány, az elrendezhetőség feltétele (NB), formálisan valós test. A valósan zárt testek jellemzései (NB). Frobenius tétele valósan zárt test feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrákról (NB), a kvaterniótest.
8. alkalom. A háló definíciója rendezés illetve műveletek segítségével, a dualitási elv. Teljes háló, itt elég az egyik művelet létezését feltenni. Fedés, hálók lerajzolása. Intervallum, leszálló, konvex részhalmaz, ideál, filter. Komplementum.
Általános algebrai struktúrák, részstruktúra. Típus, homomorfizmus, kongruencia, faktor, direkt szorzat. Részalgebraháló, kongruenciaháló. A H, S, P operátorok, felcserélhetőségi viszonyaik.
Szubdirekt szorzat, jellemzése kongruenciákkal. Triviális szubdirekt szorzat, szubdirekt irreducibilis algebrák, jellemzésük, Birkhoff tétele a szubdirekt felbontásról. A szabad algebra általános fogalma, Birkhoff tétele a szabad algebra létezéséről.
A disztributív háló fogalma. Kongruenciák készítése, a szubdirekt irreducibilis disztributív hálók jellemzése. Stone reprezentációs tétele. A három elemmel generált szabad disztributív háló szerkezete.
9. alkalom. A term általános fogalma, term-függvény, polinom-függvény. Az adott típusú szabad algebra mint a termek algebrája. Az azonosság fogalma, varietás. Birkhoff tétele: ezek a HSP-re zárt osztályok (bizonyítás csak vázlatosan).
Kongruenciák egyesítésének leírása, a kongruenciaháló a partícióháló teljes részhálója. Többségi termmel rendelkező algebrák, speciálisan a hálók kongruenciahálója disztributív. Kongruencia-felcserélhető algebrák és varietások, Malcev tétele.
A moduláris háló fogalma, kongruencia-felcserélhető algebra kongruenciahálója moduláris. Az intervallumok izomorfizmus-tétele. Jordan-Dedekind tétel, a magasságfüggvény és a dimenzió-egyenlet. Metszet-irreducibilis elemek, Kuros-Ore tétel. A három elemmel generált szabad moduláris háló rajza. A négy elemmel generált szabad moduláris háló szóproblémája eldönthetetlen (Freese-Herrmann, NB). Dedekind és Birkhoff tételei a modularitás illetve a disztributivitás tiltott részhálókkal való jellemzéséről (NB).
10. alkalom. A Boole algebra fogalma, azonosságai. Szubdirekt irreducibilis Boole-algebrák, Stone reprezentáció. A Boole-algebrák varietása kongruencia-felcserélhető. Következmény: a véges Boole-algebrák szerkezete. A végesen generált szabad Boole-algebrák elemszáma (NB). Pudlak és Tuma tétele: minden véges háló beágyazható véges partícióhálóba.
A csoportreprezentáció fogalma, foka és karaktere. Ekvivalens reprezentációk. A csoportalgebra, kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk között. Invariáns skaláris szorzat, Maschke tétele: a csoportalgebra féligegyszerű. Az egyszerű modulusok leírása, irreducibilis reprezentációk. A csoportalgebra centruma, osztályfüggvények. Az irreducibilis reprezentációk száma a csoport konjugált elemosztályainak a száma, a fokok négyzetösszege a csoport rendje. Abel-csoport reprezentációi.
A karaktertábla, elemei algebrai egészek. A reguláris reprezentáció, karaktere, felbontása irreducibilisek összegére. A karakterek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények között. Következmény: ha a karakterek egyenlők, akkor a reprezentációk ekvivalensek.
11. alkalom. A második ortogonalitási reláció. Karakter magja és centruma. Irreducibilis karakter foka osztója a csoport rendjének. Burnside tétele: véges nemkommutatív egyszerű csoportban nem lehet prímhatványrendű konjugált elemosztály. Következmény: ha egy csoport rendje legfeljebb két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható.