1. hét. Cardano képlete. Példa arra, hogyan kaphatók meg az egyenlet gyökei negatív számok négyzetgyökeivel való formális számolással. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani, nullosztómentesség. A konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. Az összeadás a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám szöge. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség.
2. hét. Komplex számok hatványozása, gyökvonás, a gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Ha nem minden hatvány különböző, akkor a szám egységgyök, rendje véges, és a hatványok periódikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb pozitív egész, amire a számot emelve 1-et kapunk. Két hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a rend többszöröse. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív n-edik egységgyök fogalma, számuk. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök.
A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, főegyütthatója, foka, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói és foka, nullosztómentesség. A polinomfüggvény fogalma. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A nullosztómentesség miatt a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak.
3. hét. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. Következmény: a gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. A k-szoros gyök fogalma, itt a k egyértelműen meghatározott. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések.
A többhatározatlanú polinom fogalma. Fok, homogén polinom, felbontás homogén polinomok összegére. A tagok lexikografikus rendezése. Következmény: nullosztómentesség, a szorzatpolinom foka. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség.
4. hét. A hatványösszegekre vonatkozó Newton-Girard formulák. A binomiális tétel. Lagrange interpoláció. Polinom formális deriváltja, műveleti tulajdonságok. Összefüggés a polinom és deriváltja gyökeinek multiplicitása között. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani.
Polinomok R, Q, Z felett. Oszthatóság, egységek, asszociáltság, jellemzésük. Az irreducibilis polinom fogalma. Az irreducibilis polinomok C felett pontosan az elsőfokúak. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q felett), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. A legnagyobb közös osztó és az euklideszi algoritmus.
5. hét. A legnagyobb közös osztó leolvasása a kanonikus alakból. A legnagyobb közös osztó nem függ attól, hogy mi felett vizsgáljuk. Az f többszörös gyökei pontosan az (f, f') gyökei.
Egységek és felbonthatatlanok a valós fölött. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke (bizonyítás részben gyakorlaton). Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. A racionális együtthatós polinomok számelmélete. Összefüggés racionális gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökök meghatározása. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.
Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, a Gauss-lemmák.
6. hét. A Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel bizonyítása. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós.
A kétváltozós művelet általános fogalma. Asszociativitás, kommutativitás, bal- és jobboldali neutrális elem és inverz.
7. hét. Asszociatív művelet esetén a szorzat nem függ a zárójelezéstől (NB). Kommutatív művelet esetén a szorzat nem függ a sorrendtől (NB). Egy műveletnek csak egy kétoldali neutrális eleme lehet (bizonyítás a gyakorlaton). A kétoldali inverz egyértelmű (bizonyítás a gyakorlaton). Csoport, Abel-csoport, gyűrű, ferdetest, test, nullosztómentesség, példák. Elemi számolási szabályok (bizonyítás gyakorlaton). Minden ferdetest nullosztómentes. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes, ha n prímszám.
8. hét. Az egyszerűsítési szabály. Minden véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Wedderburn tétele: minden véges ferdetest kommutatív (NB). A Zn gyűrű akkor és csak akkor test, ha n prímszám.
Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A többhatározatlanú polinomok rekurzív definíciója, a szimmetrikus polinomok alaptétele érvényben marad nullosztómentes gyűrű fölött. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű felett lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű felett érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök.
9. hét. Végtelen, nullosztómentes gyűrű felett igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű felett nem. Gyűrűelem egész számszorosa, tulajdonságok. A derivált és a többszörös gyök kapcsolata nullosztómentes gyűrű fölött. A maradékos osztás tétele: nullosztómentes gyűrű felett lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség.
A számelmélet alapjai általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis elem, alaptételes gyűrű. A polinomgyűrű egységei. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén. Test feletti polinomgyűrű alaptételes.
Kommutatív, nullosztómentes gyűrű hányadosteste (NB). Alaptételes gyűrű feletti polinomgyűrű is az. Következmény: Z[x1,...,xn] és T[x1,...,xn] alaptételes, ahol T test.
10. hét. Homomorfizmus, egységelem és inverz képe. A modulo n maradékképzés, mint gyűrűhomomorfizmus. Ha minden elem p-szerese nulla egy gyűrűben (p prím), akkor itt tagonként lehet p-edik hatványra emelni. Következmény: a kis Fermat-tétel.
Az elem hatványának és az elemrendnek a fogalma általános csoportban. Az elemrend tulajdonságai (mint a komplex egységgyököknél).
A permutáció mint bijekció, kompozíció, inverz, a szimmetrikus csoport. Felbontás diszjunkt ciklusokra, a rend a ciklushosszak legkisebb közös többszöröse. Permutáció előjele, inverziók, szorzástétel, ciklus előjele.
A körosztási polinom irreducibilis.
11. hét. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen (biz. részben gyakorlaton).
A sík vektorai: összeadás és skalárral szorzás. Geometriai transzformációk mint lineáris leképezések a síkon. Egy vektor képének kiszámítása, ha a két egységvektor képét ismerjük. A leképezés mátrixa, mátrix és oszlopvektor szorzata. Két leképezés kompozíciójának mátrixa, a mátrix-szorzás definíciója.
Tn mint a T test feletti n magas oszlopvektorok "tere", összeadás, T-beli skalárral szorzás. Lineáris leképezés két ilyen tér között, ennek a mátrixa. Vektor képének kiszámítása, a kompozíció mátrixa, a mátrix-szorzás általános definíciója. Minden mátrix alkalmas lineáris leképezés mátrixa (bizonyítás később). Következmény: a mátrixok szorzása (ha értelmes, akkor) asszociatív.
A mátrixok és a lineáris leképezések összeadása, és skalárral való szorzása, műveleti tulajdonságok. A négyzetes mátrixok, illetve a lineáris transzformációk egységelemes gyűrűt alkotnak. Az inverz mátrix definíciója, és kiszámítása Gauss-eliminációval (NB).
Az előjeles mérték fogalma, és kiszámítása a síkon.
12. hét. Az előjeles mérték általános definíciója Tn-en, tulajdonságai. A mérték kiszámítása, a kapott képlet alapján a determináns definíciója. A determináns az oszlopainak előjeles mértéke, és így az előjeles mérték létezik. Következmény: a determináns oszlopcserénél előjelet vált, egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik.
A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra bizonyított szabályok sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa, a determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB). A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E.
13. hét. A determináns eltűnésének jellemzése. A Cramer-szabály.
A rezultáns, és felírása determináns alakban. A diszkrimináns. A másodfokú egyenlet elemzése.
14. hét. A Cardano-képlet diszkussziója: hogyan kapjuk meg a három gyököt? Többszörös gyökök és a diszkrimináns. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenlet megoldási módszere (csak vázlat). A determináns Laplace-féle kifejtése (NB). A Cauchy-Binet formulák (NB).