1. alkalom. Csoport automorfizmusa és belső automorfizmusa, automorfizmus-csoport. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A H normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben H normálosztó. Két részcsoport szorzatának rendje, ez mikor részcsoport.
A p-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek (a permutációcsoportos bizonyítással). A p-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy p-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: pq rendű csoport nem lehet egyszerű.
A direkt szorzat fogalma. A direkt szorzat belső jellemzése véges sok tényező esetén. Diszkrét direkt szorzat. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus.
2. alkalom. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás később). Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. A ciklikus csoportok automorfizmus-csoportja. Nemkommutatív pq rendű csoport konstrukciója alkalmas p és q esetén. A pq rendű csoportok száma (NB).
A faktorcsoport részcsoportjainak, mellékosztályainak, és normálosztóinak teljes inverz képe az eredeti csoportban, kapcsolatuk. A két izomorfizmus-tétel.
Normállánc, kompozíciólánc, főlánc, finomítás, láncok faktorai és izomorfizmusa. A Jordan-Hölder tétel. Schreier tétele (NB).
3. alkalom. Feloldható csoportok. Minden Abel-csoport, véges p-csoport, illetve páratlan rendű véges csoport feloldható (az utóbbi állítás a Feit-Thompson-tétel következményeként). Burnside tétele: ha egy véges csoport rendje csak két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható (bizonyítás remélhetőleg jövőre). A feloldható csoportok osztálya zárt a részcsoport, a homomorf kép, a véges direkt szorzat képzésére, és a bővítésre.
Két elem kommutátora. A H és K normálosztók kommutátorrészcsoportja mint a megfelelő kommutátorok által generált részcsoport, ez normálosztó, része H és K metszetének, és a legkisebb olyan normálosztó, amely szerinti faktorban a H és a K képének elemei felcserélhetők. A csoport kommutátorrészcsoportja, a legnagyobb Abel-féle homomorf kép. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc főlánc, sőt elemei karakterisztikus részcsoportok.
A centrális lánc fogalma és jellemzése a kommutátor segítségével, nilpotens csoportok. A nilpotens csoportok osztálya zárt a részcsoport, a homomorf kép, a véges direkt szorzat képzésére, de a bővítésre általában nem. A Frattini-részcsoport fogalma. A Frattini-elv. A véges nilpotens csoportok jellemzései (a normalizátor-feltétel, a Wieland-tétel, p-csoportok direkt szorzata). A Frattini-részcsoport a nem-generátorok halmaza, és mindig nilpotens (NB). Burnside bázis tétele, véges p-csoport minimális generátorrendszerének elemszáma (NB). Nilpotens csoport konstrukciója egységelemes gyűrű nilpotens ideálja segítségével, a felső háromszögmátrixok csoportja (T(n,T) és U(n,T)).
4. alkalom. A nemkommutatív p3 rendű csoportok konstrukciója. Izomorfia erejéig kettő van belőlük (NB).
További mátrixcsoportok: GL(n,T) és centruma, SL(n,T), PGL(n,T), PSL(n,T), rendjeik. A PSL(n,T) egyszerű, kivéve PSL(2,2), PSL(2,3) (NB).
Permutációcsoport mint G-set, ekvivalencia, minden tranzitív permutációcsoport ekvivalens egy részcsoport szerinti mellékosztályokon való hatással. Többszörös (szigorú) tranzitivitás, regularitás, egy tranzitív csoport akkor és csak akkor k-szorosan tranzitív, ha a stabilizátorok k-1-szeresen tranzitívak, egy n elemű halmazon ható k-tranzitív csoport rendje osztható n(n-1)...(n-k+1)-gyel. Egy csoport automorfizmuscsoportja mikor hat többszörösen tranzitívan az egységtől különböző elemeken. Az affin csoport, ennek tranzitivitása. A projektív egyenes törtlineáris leképezéseinek példája szigorúan 3-tranzitív csoportra. A Frobenius-csoport fogalma, példák, Frobenius tétele (NB).
5. alkalom. G-set kongruenciája. Megfeleltetés tranzitív csoport esetén a kongruenciák és a stabilizátort tartalmazó részcsoportok között. Következmény: a kongruenciaosztályok elemszáma egyenlő. Primitivitás, ennek jellemzése (a stabilizátorok maximális részcsoportok). Prímfokú tranzitív csoport primitív. Minden 2-tranzitív csoport primitív. Primitív csoport nemtriviális normálosztója tranzitív.
Legyen G részcsoportja SX-nek, N tranzitív normálosztó G-ben, H pedig egy X-beli pont G-beli stabilizátora. Ekkor G=NH és CG(N) triviálisan metszi H-t. Ha N reguláris (speciálisan ha N Abel), akkor a H ugyanúgy hat konjugálással N-en, mint X-en. Következmény: ha G sokszorosan tranzitív, akkor ez megszorításokat jelent N-re. Ha N Abel-féle akkor G beágyazható az Aff(N) csoportba. Következmények: feloldható primitív csoportok foka és beágyazhatósága Aff(n,p)-be, az Sp tranzitív feloldható részcsoportjai, An egyszerű ha n legalább 5.
Az An automorfizmuscsoportja Sn, ha n nem 2, 3, 6 (NB). Schreier-sejtés, a majdnem egyszerű csoport fogalma. Burnside tétele 2-tranzitív csoportok minimális normálosztóiról (NB). A Mathieu-csoportok fokai és tranzitivitása (NB).
6. alkalom. A szabad csoport fogalma és megadása. Definiáló relációk, Dyck tétele. A Nielsen-Schreier tétel (NB).
A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel, és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes.
7. alkalom. A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Homomorfizmus, faktormodulus. Részmodulus, a generált részmodulus elemeinek képlete, ciklikus modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
A bázis fogalma, és kapcsolata a ciklikus részmodulusok direkt összegére való felbonthatósággal. Erős értelemben vett bázis és szabad generátorrendszer. Ha a modulusban megadunk egy bázist, akkor egy részmodulus egy generátorrendszere egy mátrixszal adható meg. A mátrix elemi átalakításainak kapcsolata a bázis illetve a generátorrendszer megváltoztatásával. Euklideszi gyűrű felett minden mátrix elemi átalakításokkal normálalakra hozható.
8-9. alkalom. Következmény: euklideszi gyűrű feletti végesen generált modulus ciklikusok direkt összege, és minden részmodulusa is végesen generált. A rend fogalma, kapcsolat a fellépő ciklikus modulusok generátorelemeinek rendjei, és a mátrix normálalakjának főátlójában szereplő elemek között. Ciklikus modulus felbontása prímhatványrendű ciklikusakra.
A felbontás egyértelműségének kérdése. Torzió-részmodulus, a szerinte vett faktor torziómentes. A nulla rendű elemek által generált ciklikus tényezők száma egyértelmű. Az M[p] részmodulus, ez vektortér az R/(p) test felett, dimenziója a p-hatványrendű tényezők száma. Az M[p] szerinti faktor felbontásában szereplő tényezők rendjei, az egyértelműség bizonyítása.
A Jordan-normálalakról szóló tétel bizonyítása modulusok segítségével. A karakterisztikus mátrix szerepe, normálalakjában az utolsó elem a minimálpolinom. Következmény: a Cayley-Hamilton tétel. A blokkok méreteinek leolvasása a normálalakról, determinánsosztók (gyakorlaton).
A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Minimálpolinom, algebrai és transzcendens elemek. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete, ha a generáló elem transzcendens.
10-11. alkalom. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén, előállítás faktorgyűrűként. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele. Következmények: elem foka osztója a bővítés fokának, összeg és szorzat fokának becslése. Minden véges bővítés algebrai. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste. Algebrailag zárt bővítés létezése (bizonyítás jövőre).
A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Minden véges test tökéletes (bizonyítás jövőre). Tökéletes test véges bővítése egyszerű.
A felbontási test fogalma, egyértelműsége, kiterjesztési tétel. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma. A Galois-elmélet főtétele. Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei. Konjugált résztestek és konjugált részcsoportok kapcsolata, normális közbülső test Galois-csoportja mint faktorcsoport.