Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2017.

Valószínűségszámítás2

  • Óraszám (ea+gy): 3 + 2
  • Specializáció: matematikus
  • Kredit (ea+gy): 3 + 2
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): valsz_2m0_m17ea, valsz_2m0_m17ga
  • Ajánlott félév: 5
  • Státusz: alt. vál.
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
3 + 2 3 + 2 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus valsz_2m0_m17ea
valsz_2m0_m17ga
5 alt. vál.
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Valószínűségszámítás1E-m (valsz_1m0_m17ea) vagy
Valószínűségszámítás1E-a (valsz_1a0_m17ea)
Erős:
Analízis4E-m (analiz4m0_m17ex) vagy
Analízis4E-a (analiz4a0_m17ex)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • A matematikus és alkalmazott matematikus hallgatók választhatnak, hogy ezt a tárgyat, vagy az alkalmazott matematikus hálóban szereplő, 2+2 óraszámú Valószínűségszámítás2 tárgyat hallgatják.
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

Szükséges előismeretek

  • Bevezető valószínűségszámítás fogalmai.
  • Speciális halmazrendszerek és halmazfüggvények (algebra, szigmaalgebra, mérték). A Lebesgue mérték. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. A Borel-halmazok jellemzése. A mérhető leképezés fogalma, alaptulajdonságok. Lépcsősfüggvények, integrál. Mérhető függvények integrálja. Az integrál jellemzése és alaptulajdonságai. A Lebesgue-Stieltjes-integrál. A Beppo-Levi tétel, Fatou-lemma, egyéb konvergenciatételek. Az Lp terek értelmezése, Hölder-, Jensen-, Cauchy és Minkowski-egyenlőtlenség. Az Lp-terekre vonatkozó alapvető állítások. A Riemann-integrálhatóság és Lebesgue-integrálhatóság kapcsolata. A szorzatmérték fogalma, Fubini-tétel. Abszolút folytonosság. A Radon-Nikodym-tétel. Előjeles mértékek.
  • Topológikus terek, nyílt, zárt halmazok. Metrikus terek.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja az axiomatikus valószínűségszámítás elemeinek, és ezek egyes alkalmazásainak bemutatása.

Irodalom

  • J. Mogyoródi, Á. Somogyi: Valószínűségszámítás. Egyetemi Jegyzet, 1989.
  • L. Galambos: Advanced probability theory. Marcel Dekker, New York, 1995.

Tematika

  • A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómarendszere. Valószínűségi változók eloszlása, eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. (Abszolút folytonos és diszkrét eloszlású valószínűségi változók.) A sűrűségfüggvény transzformációja diffeomorfizmus esetén.
  • Események, eseményrendszerek, valószínűségi változók függetlensége. A generált szigma-algebra függetlensége. Kolmogorov-féle 0-1 törvény.
  • Valószínűségi változók konvergenciájának alaptípusai. Sztochasztikus, 1 valószínűségű, Lp-beli konvergencia. Kapcsolat az egyes konvergenciafajták között. Egyenletes integrálhatóság. De la Vallée Poussin tétele.
  • Lévy egyenlőtlenség. Független valószínűségi változók összege sztochasztikus konvergenciájának és 1 valószínűségi konvergenciájának ekvivalenciája. Nagy számok gyenge törvényei. A Feller-féle gyenge törvény.
  • Valószínűségeloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség, relatív kompaktság. Prohorov tétele. (Az egyik irány csak véges dimenziós Euklidészi tér esetén. [Az eloszlásbeli konvergencia jellemzése az eloszlásfüggvény viselkedésével. Helly-Brey-féle kiválasztási tétel.])
  • Karakterisztikus függvény. Inverziós formula. Dobb-egyenlőtlenség. Folytonossági tétel. Centrális határeloszlástétel bizonyítása karakterisztikus függvények segítségével. Lindeberg-Feller-féle határeloszlástétel. A konvergenciagyorsaságról. (Berry-Esséen-tétel.)
  • A feltételes várható érték általános fogalma. Alaptulajdonságok. Kiszámítása. Feltételes sűrűségfüggvény. A feltételes eloszlás reguláris változata.
  • Martingálok, maximál-egyenlőtlenségek. Martingál-konvergencia-tétel. Példa arra, hogy ennek feltétele nem szükséges az 1 valószínűségi konvergenciához.
  • A nagy számok erős törvényei. (Bizonyítás a Kronecker-lemma és martingálkonvergencia segítségével.) Kolmogorov-féle nagy számok erős törvénye.
  • Független tagú végtelen sorok konvergenciája. Kolmogorov-féle három sor tétel.
  • Martingálok L1 konvergenciája. Reguláris martingálok.