Tantárgyleírás
2017.
Geometria2
- Óraszám (ea+gy): 2 + 2
- Specializáció: matematikus
- Kredit (ea+gy): 3 + 2
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): geomet2m0_m17ea, geomet2m0_m17ga
- Ajánlott félév: 3
- Státusz: kötelező
| Óraszám
ea(+k) + gy(+k) |
Kredit
ea + gy |
Számonkérés | Specializáció | Tárgykód
ea/gy |
Ajánlott
félév |
Státusz |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 + 2 | 3 + 2 | kollokvium + gyak. jegy |
matematikus | geomet2m0_m17ea geomet2m0_m17ga |
3 | kötelező |
Tantárgyfelelős
| Erős | Gyenge | előfeltételek |
|---|---|---|
| Gyakorlat | ||
|
Erős:
Geometria1E
(geomet1*0_m17ea)
| ||
|
Erős:
| ||
| Előadás | ||
|
Gyenge:
Bevezetés a topológiábaE-m
(bevtop1m0_m17ex)
| ||
|
Gyenge:
a gyakorlat
| ||
Megjegyzések
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
A tárgy az affin és konvex geometria alapfogalmaira, valamint az absztrakt algebra és az analízis bevezető fogalmaira épít.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a magasabb dimenziós euklideszi geometria fogalmainak, eszközrendszerének kiépítése, és néhány nevezetes eredményének a tárgyalása.
Irodalom
- Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
- Marcel Berger: Geometry I. Springer, 1987.
- Moussong Gábor: Geometria. Internetes jegyzet.
Tematika
- Euklideszi izometriák. Az euklideszi tér és az izometria fogalma. Eltolások és ortogonális transzformációk. Az izometriák természetes felbontása ortogonális transzformáció és eltolás kompozíciójára. Az izometriák osztályozása 2 és 3 dimenzióban.
- Ortogonális felbontások, vetítések, szimmetriák, tükrözések. Affin alterek szöge. Izometriák előállítása tükrözések szorzataként.
- Ortogonális csoportok. Topológiai és algebrai tulajdonságok. Az SO(3) csoport egyszerű volta. A kvaterniók geometriája.
- Szabályos politópok. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai mint az O(2) és az O(3) csoport véges részcsoportjai. Szabályos politópok fogalma és konstrukciói. A szabályos politópok osztályozása magasabb dimenzióban.
- Hasonlóságok. Hasonlósági transzformációk euklideszi térben. A hasonlósági transzformációk csoportjának szerkezete, a hasonlóságok koordinátás leírása. Gömbtartó leképezések.
- Inverzív geometria. Gömbök és affin alterek kölcsönös helyzete, szöge. Hatvány, hatványhipersík. Gömbre vonatkozó inverzió euklideszi térben. Affin alterek és gömbök képe inverziónál. Érintkezéstartás, szögtartás.
- Sztereografikus vetítés és tulajdonságai. A gömbi tükrözések és az inverziók közötti kapcsolat.
- Euklideszi tér inverzív bővítése. Möbius-transzformációk inverzív térben és gömbön. Irányítástartó Möbius-transzformációk. A Möbius-transzformációk Poincaré-féle kiterjesztése.
- Térfogat és felszín. A térfogat fogalma és főbb tulajdonságai euklideszi térben. Konvex testek approximációja politópokkal. Golyók térfogata. Politópok és konvex testek felszíne. A felszín monotonitása. Golyók felszíne.
- Hausdorff-metrika. A térfogat és a felszín mint folytonos függvények. Blaschke kiválasztási tétele.
- Paralleltartományok szerkezete, a Steiner–Minkowski-tétel. Steiner-féle szimmetrizáció. A felszín változása szimmetrizációnál.
- Blaschke tétele a gömbről. Az izodiametrikus és az izoperimetrikus egyenlőtlenség.