Tantárgyleírás
2017.
Differenciálegyenletek
- Óraszám (ea+gy): 2 + 2
- Specializáció: matematikus
- Kredit (ea+gy): 3 + 2
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): difegy1u0_m17ex, difegy1u0_m17gx
- Ajánlott félév: 5
- Státusz: kötelező
- Specializáció: alk. mat.
- Kredit (ea+gy): 3 + 2
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): difegy1u0_m17ex, difegy1u0_m17gx
- Ajánlott félév: 5
- Státusz: kötelező
| Óraszám
ea(+k) + gy(+k) |
Kredit
ea + gy |
Számonkérés | Specializáció | Tárgykód
ea/gy |
Ajánlott
félév |
Státusz |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 + 2 | 3 + 2 | kollokvium + gyak. jegy |
matematikus | difegy1u0_m17ex difegy1u0_m17gx |
5 | kötelező |
| 3 + 2 | kollokvium + gyak. jegy |
alk. mat. | difegy1u0_m17ex difegy1u0_m17gx |
5 | kötelező |
Tantárgyfelelős
| Erős | Gyenge | előfeltételek |
|---|---|---|
| Gyakorlat | ||
|
Erős:
| ||
| Előadás | ||
|
Gyenge:
| ||
|
Gyenge:
a gyakorlat
| ||
Megjegyzések
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Analízis 3. félév, lineáris algebra.
A tantárgy célkitűzése
A közönséges differenciálegyenletek alapismereteinek lerakása, azon fogalmak és összefüggések ismertetése, melyek a továbbiakban lehetőséget adnak a szakirodalom követésére, illetve új fogalomalkotásra, modellezésre. Ezenkívül a természettudományokban használt alapvető differenciálegyenletekkel leírt modellek ismertetése.
Irodalom
- Tóth János, Simon Péter: Differenciálegyenletek; Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Typotex, 2005.
- V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, 1987.
Tematika
- Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer fogalma, megoldásának egyértelműsége, Gronwall lemma. A lokális és globális megoldás létezése.
- Lineáris differenciálegyenlet-rendszer: a megoldás létezése és egyértelműsége; a homogén és inhomogén egyenlet megoldásának előállítása az alaprendszer segítségével; az állandók variálásának módszere. Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet-rendszer: eA létezése és tulajdonságai; a megoldás előállítása eAt segítségével; eAt kiszámítása Jordan normálformával, ill. Hermite-féle interpolációs polinomokkal. Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek.
- Autonóm differenciálegyenletek: csoport tulajdonság; dinamikai rendszer fogalma. Stabilitási fogalmak; lineáris differenciálegyenlet-rendszer stabilitás vizsgálata: stabil, instabil, centrális altér, a stabilitás meghatározása a sajátértékek segítségével, Routh-Hurwitz kritérium; egyensúlyi pont stabilitás vizsgálata linearizálással. Stabilitás vizsgálat Ljapunov módszerével: Ljapunov stabilitási és instabilitási tétele.
- Aszimptotikus viselkedés:az ω-határhalmaz fogalma és tulajdonságai. Az ω-határhalmazok típusai egy és két dimenzióban: a Poincaré-Bendixson tétel.
- Periodikus megoldás stabilitás vizsgálata: orbitális stabilitás, Poincaré leképezés létezése, egyértelműsége. Leképezés fixpontjának stabilitása. A Poincaré leképezés fixpontjának stabilitása és a periodikus pálya orbitális stabilitása közötti kapcsolat, az Andronov-Vitt tétel.
- Dinamikai rendszerek topologikus osztályozása: ekvivalencia fogalmak, kiegyenesítési tétel, lineáris rendszerek topologikus osztályozása.
- Másodrendű lineáris differenciálegyenletre vonatkozó peremértékproblémák.